Transpositions
dans Algèbre
Salut
C'est sûrement simple mais je n'arrive pas à "vraiment" comprendre un truc.
Soit $n\in\mathbf N^*$. Pour $i\in\{1,\dots,n-1\}$, on note $\tau_i=(i,i+1)$.
Soit $1\leq i<j\leq n$. On pose $\tau=(i,j)$.
Alors il s'agit de vérifier que : $$
\tau=\tau_{j-1}\dots\tau_{i+1}\tau_i \dots \tau_{j-2}\tau_{j-1}.
$$ J'arrive à le faire "sans réfléchir" i.e. en vérifiant fastidieusement que le membre de droite donne $j$ quand on lui applique $i$ et inversement. Mais je n'aurais jamais trouvé seul l'égalité en question si on ne me l'avait pas donnée.
Est-ce qu'il y a un moyen de voir cela mieux ?
C'est sûrement simple mais je n'arrive pas à "vraiment" comprendre un truc.
Soit $n\in\mathbf N^*$. Pour $i\in\{1,\dots,n-1\}$, on note $\tau_i=(i,i+1)$.
Soit $1\leq i<j\leq n$. On pose $\tau=(i,j)$.
Alors il s'agit de vérifier que : $$
\tau=\tau_{j-1}\dots\tau_{i+1}\tau_i \dots \tau_{j-2}\tau_{j-1}.
$$ J'arrive à le faire "sans réfléchir" i.e. en vérifiant fastidieusement que le membre de droite donne $j$ quand on lui applique $i$ et inversement. Mais je n'aurais jamais trouvé seul l'égalité en question si on ne me l'avait pas donnée.
Est-ce qu'il y a un moyen de voir cela mieux ?
Réponses
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$(a,b)(b,d) = (a,b,d)$. Plus généralement, si tu as un cycle $(x_0,...,x_k)$ et une transposition $(a,x_0)$ avec $a$ pas dans le support du cycle, $(a,x_0)(x_0,...,x_k) = (a,x_0,...,x_k)$
Dans ton membre de droite, c'est ce qui se passe jusqu'à $\tau_i$: $\tau_i...\tau_{j-1}$ c'est donc le cycle $(i, ..., j)$.
Pareil pour le "début" de ton membre de droite : c'est le cycle $(j, ..., i+1)$ . Bon bah maintenant le calcul est plus simple : $i$ est envoyé sur $i+1$ qui est envoyé sur $j$, et $j$ sur $i$ qui ne bouge pas, et pour les autres gens non extrêmaux, ça fait juste un va-et-vient. Je ne sais pas si c'est quelque chose comme ça que tu cherches -
Deux façons :
- on commence par le cas $j=i\pm2$ : le produit $\tau_{i+1}\tau_i\tau_{i+1}$ est le conjugué de $\tau_i$ par $\tau_{i+1}$ : c'est donc une transposition (comme $\tau_i$) et les points qui bougent sont $\tau_{i+1}(i)=i$ et $\tau_{i+1}(i+1)=i+2$ ; ainsi, $\tau_{i+1}\tau_i\tau_{i+1}=(i,i+2)$ ; tu recommences avec $\tau_{i+2}\tau_{i+1}\tau_i\tau_{i+1}\tau_{i+2}=(i,i+3)$, etc. ;
cet argument devrait te permettre d'écrire une autre formule pour $(i,j)$, quelque chose comme $\tau_i\cdots\tau_{j-2}\tau_{j-1}\tau_{j-2}\cdots \tau_i$ (à vérifier...) ; - graphiquement : cf. l'exemple $i=3$, $j=6$ ci-dessous.
- on commence par le cas $j=i\pm2$ : le produit $\tau_{i+1}\tau_i\tau_{i+1}$ est le conjugué de $\tau_i$ par $\tau_{i+1}$ : c'est donc une transposition (comme $\tau_i$) et les points qui bougent sont $\tau_{i+1}(i)=i$ et $\tau_{i+1}(i+1)=i+2$ ; ainsi, $\tau_{i+1}\tau_i\tau_{i+1}=(i,i+2)$ ; tu recommences avec $\tau_{i+2}\tau_{i+1}\tau_i\tau_{i+1}\tau_{i+2}=(i,i+3)$, etc. ;
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