Algorithmes pour le cœur et le nilespace

adrien2019 · April 2019

Bonjour,
Je me demandais s'il existait un algorithme permettant de déterminer une base du cœur et du nilespace d'une matrice, si possible sans calculer ses puissances $n$-ièmes.
Je me dis que la notion de cœur et de nilespace est quelque chose d'intrinsèque à l'endomorphisme considéré, et que donc on doit pouvoir obtenir des informations dessus à partir de la matrice de l'endomorphisme sans passer par sa puissance $n$-ième (je ne sais pas si je suis clair...)
Merci d'avance pour votre aide !

gerard0 · April 2019

Bonjour.

Je ne sais pas exactement ce que tu appelles "coeur" et "nilespace" (image et noyau ?), mais la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée donne tout les renseignements possibles sur l'endomorphisme. C'est d'ailleurs une méthode très classique.

Cordialement.

adrien2019 · April 2019

@gerard0 Soit $f \in \mathcal{L}(E)$. La suite $\ker(f^k)$ est croissante et stationnaire. Il existe donc un rang $N$ à partir duquel pour tout $n \geq N$, $\ker(f^{n+1})=\ker(f^n)$. On appelle $\ker(f^N)$ le nilespace de $f$.
De même, la suite $Im(f^k)$ est décroissante et stationnaire. Il existe donc un rang $p$ à partir duquel pour tout $n \geq p$, $Im(f^{n+1})=Im(f^n)$. On appelle $Im(f^p)$ le cœur de $f$.

adrien2019 · April 2019

Mais en effet, comme la matrice d'un endomorphisme donne tous les renseignements possibles sur l'endomorphisme, je me demande si on peut trouver une base du coeur et du nilespace à partir de la matrice elle-même (sans forcément passer par le calcul de ses puissances successives).

adrien2019 · April 2019

Bonjour,
J'ai trouvé deux méthodes pour obtenir le coeur et le nilespace d'un endomorphisme (cf pages 70 à 75 du lien suivant): http://lescoursdemathsdepjh.monsite-orange.fr/file/367594754f7e0445d6788ad74c186edf.pdf
Cependant, j'ai du mal à comprendre les algorithmes. Quelqu'un pourrait-il me les expliquer?
Je vous remercie d'avance!

Poirot · April 2019

Bah "l’algorithme" consiste à calculer successivement les noyaux et images des puissances de $A$, donc ce n'est pas ce que tu cherches.

adrien2019 · April 2019

Ah d'accord...

Du coup, y a-t-il un moyen à partir de la matrice initiale sans calculer ses puissances successives?

melpomène · April 2019

Comment voudrais-tu procéder autrement ? le nilespace est le plus grand sous-espace stable par $f$ sur lequel $f$ est nilpotente. Comment veux-tu détecter ça autrement qu'à l'aide de puissances successives ? D'ailleurs, ton $N$ est sans nul doute la valuation $X$-adique du polynôme minimale de $f$.

Après, tu peux sans doute utiliser l'algo de Newton pour calculer la décomposition de Dunford de $f$ (si tu travailles en caractéristique nulle), mais cela implique malgré tout de calculer des polynômes en $f$, donc les puissances....

Poirot · April 2019

Je ne connais pas la réponse, mais tu peux remarquer que le nilespace est un sous-espace stable du noyau de $A$, donc si la dimension du noyau n'est pas très grande, tu peux peut-être procéder par élimination.

Algorithmes pour le cœur et le nilespace

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