Irréductibilité dans $ \mathbb{C} $.

Pablo_de_retour · April 2019

Bonsoir à tous,

Comment montrer que le polynôme $ P(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 $ est irréductible dans $ \mathbb{C} $. C'est à dire qu'il ne peut jamais être factorisé sous la forme $ P(x,y,z) = ( a_2 x + a_1 y + a_0 z ) ( b_2 x + b_1 y + b_0 z ) $ ?

Merci d'avance.

Hector38 · April 2019

$(x+iy)(x-iy) = x^2+y^2$
Par analogie :
$[x+i(y+z)][x-i(y+z)]=x^2+(y+z)^2=x^2+y^2+z^2 +2yz$
$x^2+y^2+z^2=[x+i(y+z)][x-i(y+z)]-2yz$
Irréductibilté dans C car il n'y a factorisation que pour $yz = 0$

GaBuZoMeu · April 2019

Très pédestrement : s'il y a factorisation non triviale, les facteurs sont forcément des formes linéaires et on peut supposer sans perte de généralité que les coefficients de $x$ dans ces formes linéaires sont tous les deux égaux à $1$. Si
$$(x+ay+bz)(x+cy+dz)=x^2+y^2+z^2\;,$$alors par identification $a=-c$, $b=-d$, $a^2=-1$, $b^2=-1$ et $2=0$. On est nécessairement en caractéristique $2$ et en caractéristique $2$ on a bien $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2$.

Irréductibilité dans $ \mathbb{C} $.

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