Question sur une inégalité

Bonjour,

On dispose de deux matrices : $U\in M_{p,k}(R)$ et $V\in M_{p,l}(R)$ tels que $l<k\leq p$. On note $(u_{1},\ldots,u_{k})$ la famille des vecteurs colonnes de $U$ et $(v_{1},\ldots,v_{l})$ celle des vecteurs colonnes de $V$ et telles que : $^{t}U.U=I_{k}$ et $^{t}V.V=I_{l}$ On pose pour tout $l+1\leq i\leq k$ : $a_{i}=\sum_{m=1}^{l}{<u_{i},v_{m}>^{2}}$ avec $<,>$ désigne le produit scalaire canonique sur $R^{p}$ et pour tout $1\leq j\leq l$ on pose : $b_{j}=1-\sum_{m=1}^{l}{<u_{j},v_{m}>^{2}}$.
On veut montrer que $(a_{i})_{l+1\leq i\leq k}$ et $(b_{j})_{1\leq i\leq l}$ sont des familles de réels positifs et que $\sum_{i=l+1}^{k}{a_{i}}\leq \sum_{j=1}^{l}{b_{j}}$.

On a $^{t}U.U=I_{k}$ et $^{t}V.V=I_{l}$ et $^{t}U.U=(<u_{i},u_{j}>)_{1\leq i,j\leq k }$ et $^{t}V.V=(<v_{i},v_{j}>)_{1\leq i,j\leq l }$ ce qui donne que les familles et $(u_{1},\ldots,u_{k})$ et $(v_{1},\ldots,v_{l})$ sont des familles orthonormées. Donc on complète l'une en base orthonormée afin de pouvoir récupérer les produits scalaires les $u$ et les $v$ ensemble. Complétons celle-ci : $(v_{1},\ldots,v_{l})$ en base orthonormée de $R^{p}$ : $(v_{1},\ldots,v_{l},w_{l+1},\ldots,w_{p})$. On obtient bien pour tout $1\leq j\leq l$ : $b_{j}=\sum_{m=l+1}^{p}{<u_{j},w_{m}>^{2}}\geq 0$
Mais après pour l'inégalité sur les sommes je trouve que la différence des deux sommes est : $\sum_{r=1}^{k}{\sum_{m=l+1}^{p}{<u_{r},w_{m}>}}+l-k$ et je ne vois pas comment simplifier cette double somme pour obtenir une inégalité qui impliquerait la positivité.

J'espère que vous pourrez m'aider afin de résoudre cette question.
Merci d'avance.