Calcul de trace d’un élément
dans Algèbre
Bonjour à tous
Je rencontre des difficultés à comprendre la démonstration du théorème suivant :
Théorème : Soit $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Alors pour tout $x\in L$, on a \[ Tr_{L/K} (x) = \sum_{\tau \in Isom_K (L,\overline{K})} \tau (x),
\] où $Isom_K (L,\overline{K})$ désigne l’ensemble des plongements de $L$.
Pour cela j’ai à ma disposition plusieurs lemmes.
Lemme 1 : Soit $L/K$ une extension finie, soit $x\in L$. Alors : \[ Tr_{L/K} (x) = [ L:K[x] ] Tr_{K[x]/K} (x) .
\] Lemme 2 : Sous les mêmes hypothèses, avec $x_1, \ldots,x_n$ les conjugués de $x$ dans $\overline{K}$ : \[Tr_{K[x]/K}(x) = x_1+ \cdots+x_n
\] Lemme 3 : Soient $F/K$ une extension finie galoisienne et $L/K$ une sous-extension. Considérons la restriction $r:Gal(F/K) = Isom_K(F/\overline{K}) \longrightarrow Isom_K(L,\overline{K}) $. Alors pour tout $\tau \in Isom_K(L,\overline{K})$, $r^{-1}(\tau)$ est de cardinal $[F:L]$.
Passons à la démonstration du théorème (je vous la livre tel quel puis je la commenterai).
Supposon d’abord $L/K$ galoisienne. On a : \[
\begin{eqnarray*}
\sum_{\sigma \in Gal(L/K)} \sigma (x) &=& \sum_{\tau \in Isom_K(K[x],\overline{K})} \left ( \sum_{\sigma_{| K[x]} = \tau }\sigma(x) \right ) \\
&=& \sum_{\tau \in Isom_K(K[x]/K)} [L:K[x]] \tau (x)\\
&=& [L:K[x]]Tr_{K[x]/K}(x) \\
&=& Tr_{L/K}(x)
\end{eqnarray*}
\] Dans le cas général, on considère la clôture galoisienne $F/K$ de $L/K$. Alors \[ \sum_{\sigma \in Gal(F/K)} \sigma(x) = [F:L] \sum_{\tau \in Isom_K(L/\overline{K})} \tau(x)
\] On conclut en utilisant le cas galoisien.
Si vous êtes encore là, merci ! En fait, les points que je ne comprends pas sont les deux premières égalités, quelqu’un pourrait-il m’expliquer s’il vous plaît ?
Au plaisir de vous lire,
B&B
Je rencontre des difficultés à comprendre la démonstration du théorème suivant :
Théorème : Soit $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Alors pour tout $x\in L$, on a \[ Tr_{L/K} (x) = \sum_{\tau \in Isom_K (L,\overline{K})} \tau (x),
\] où $Isom_K (L,\overline{K})$ désigne l’ensemble des plongements de $L$.
Pour cela j’ai à ma disposition plusieurs lemmes.
Lemme 1 : Soit $L/K$ une extension finie, soit $x\in L$. Alors : \[ Tr_{L/K} (x) = [ L:K[x] ] Tr_{K[x]/K} (x) .
\] Lemme 2 : Sous les mêmes hypothèses, avec $x_1, \ldots,x_n$ les conjugués de $x$ dans $\overline{K}$ : \[Tr_{K[x]/K}(x) = x_1+ \cdots+x_n
\] Lemme 3 : Soient $F/K$ une extension finie galoisienne et $L/K$ une sous-extension. Considérons la restriction $r:Gal(F/K) = Isom_K(F/\overline{K}) \longrightarrow Isom_K(L,\overline{K}) $. Alors pour tout $\tau \in Isom_K(L,\overline{K})$, $r^{-1}(\tau)$ est de cardinal $[F:L]$.
Passons à la démonstration du théorème (je vous la livre tel quel puis je la commenterai).
Supposon d’abord $L/K$ galoisienne. On a : \[
\begin{eqnarray*}
\sum_{\sigma \in Gal(L/K)} \sigma (x) &=& \sum_{\tau \in Isom_K(K[x],\overline{K})} \left ( \sum_{\sigma_{| K[x]} = \tau }\sigma(x) \right ) \\
&=& \sum_{\tau \in Isom_K(K[x]/K)} [L:K[x]] \tau (x)\\
&=& [L:K[x]]Tr_{K[x]/K}(x) \\
&=& Tr_{L/K}(x)
\end{eqnarray*}
\] Dans le cas général, on considère la clôture galoisienne $F/K$ de $L/K$. Alors \[ \sum_{\sigma \in Gal(F/K)} \sigma(x) = [F:L] \sum_{\tau \in Isom_K(L/\overline{K})} \tau(x)
\] On conclut en utilisant le cas galoisien.
Si vous êtes encore là, merci ! En fait, les points que je ne comprends pas sont les deux premières égalités, quelqu’un pourrait-il m’expliquer s’il vous plaît ?
Au plaisir de vous lire,
B&B
Réponses
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Quelle est ta définition de la trace ?
La première égalité est une simple partition de $Gal(L/K)$, on rassemble les automorphismes qui ont la même restriction à $K[x]$.
La deuxième égalité est une application du lemme $3$, il y a exactement $[L:K[x]]$ éléments de $Gal(L/K)$ dont la restriction à $K[x]$ vaut $\tau$. -
Bonjour Poirot et merci,
Pour ma définition, c’est la trace de l’endomorphisme multiplication par $x$ dans le $K$-espace vectoriel $L$ (si on se place dans l’extension $L/K$).
Ma question prouve certainement que je n’ai pas compris quelque chose de préliliminaire à cette démonstration : pourquoi justement peut-on faire cette partition pour la première égalité? Comment sait-on que l’on récupère tout le groupe de Galois? -
Les éléments de $\text{Gal}(L/K)$ sont des $K$-automorphismes de $L \subset \bar{K}$. Puisque $K[x] \subset L$, tu peux effectivement considérer la restriction à $K[x]$ de chacun de ces automorphismes, ce qui te donne un plongement de $K[x]$ dans $\bar{K}$. Ainsi, de manière évidente (c'est purement ensembliste) $$\text{Gal(L/K)} = \bigcup_{\tau \,: \,K[x] \hookrightarrow \bar{K}} \{\sigma \in \text{Gal}(L/K) \mid \sigma_{\mid K[x]} = \tau\}.$$
-
Merci Poirot. Je ne sais pas pourquoi je faisais un blocage.
-
Sur la définition de la trace et la norme :
Soit $L/K$ séparable, $N/K$ sa clôture normale, $G= Gal(N/K), H = Gal(N/L)$ et $G/H = Isom_K(L \to N)$.
Fixe une base $L = \sum_{j=1}^n b_j K$. Alors la multiplication par $a \in L$ devient une matrice $M_a \in M_n(K)$.
$G$ permet de diagonaliser $M_a$ : pour $x= \sum_{j=1}^n x_j b_j,x_j \in K$ l'opérateur $T(x_1,\ldots,x_n) = (\sigma_1(x),\ldots,\sigma_n(x))$ est $K$-linéaire et inversible, c'est donc une matrice $T \in GL_n(N)$, et on a $M_a = T^{-1} D_a T$ où $D_a$ est la matrice diagonale qui multiplie par les $\sigma_l(a)$.
Alors par définition
\begin{align*}Tr_{L/K}(a) &= Tr(M_a) = Tr(D_a) = \sum_{l=1}^n \sigma_l(a), \\
N_{L/K}(a) &= \det(M_a) = \det(D_a)=\prod_{l=1}^n \sigma_l(a).
\end{align*} Si $L/K$ n'est pas séparable tu peux regarder le sous-corps fixé $I = N^G$. Si $s \in I$ alors $s$ n'a aucun autre $K$-conjugué, donc son polynôme minimal est de la forme $f(X)=(X-s)^m$, qu'il soit irréductible implique que $f'(X) = 0$ donc $m=p^r$.
$I/K$ est donc purement inséparable et est une tour d'extensions du type $F(s)/F$ où le polynôme minimal de $s$ est $ (X-s)^p=X^p-s^p$.
Le polynôme minimal de $s^j,1 \le j \le p-1$ est $X^p-s^{jp}$ donc $Tr_{F(s)/F}(s^j) =0$ et $N_{F(s)/F}(s^j) = s^{pj}$ ce qui correspond bien à ce qu'on attendait des formules avec les $\sigma_l$
\begin{align*}
Tr_{L/K}(a) &= Tr(M_a) = [L:K]_i Tr(D_a) = [L:K]_i \sum_{l=1}^{|G/H|} \sigma_l(a), \\
N_{L/K}(a) &= \det(M_a) = \det(D_a)^{[L:K]_i }=(\prod_{l=1}^{|G/H|} \sigma_l(a))^{[L:K]_i },
\end{align*} où $[L:K]_i = [I:K] = \frac{[N:K]}{|G|}=\frac{[L:K]}{|G/H|}$ -
Merci reuns :-)
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Bonjour!
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