Polynôme annulateur de $1/\alpha$

Il suffit de retourner l'ordre des coefficients de $P_a$.

La fraction rationnelle $P_a(1/X)$ est annulatrice de $1/a$.

Son numérateur est donc un polynôme annulateur de $1/a$.

que se passe-t-il quand tu divises $P_a(a)$ par une grande puissance de $a$?

Pour calculer un polynôme annulateur et montrer qu'il existe tu peux aussi parler de $K$-ev. de dimension finie :

$a,b$ sont algébriques sur $K$ ssi $K(a),K(b)$ sont des $K$-espaces vectoriels de dimension finie.

Concrètement $K(a) \cong K[x]/(f(x)), K(b) \cong K[y]/(g(y))$.

Alors $K(a,b)$ est $\cong$ à un des sous-anneaux de $K[x,y]/(f(x),g(y))$, ils sont en nombre fini puisque c'est un $K$-ev. de dimension finie.

Pour $c \in K[a,b]$ alors $c = h(a,b)$ pour un $h(X,Y)\in K[X,Y]$, soit $M_h$ la matrice de la multiplication par $h(x,y)$ dans $ K[x,y]/(f(x),g(y))$ et $H(t) = \det(M_c-tI) \in K[t]$, alors $H(c) = 0$.