Bonsoir
Par hypothèse $(xy)^n=yx$, mais aussi $(yx)^n=xy$, d'où
$yx^2=(yx)x=(xy)^nx=x(yx)^n=x(xy)=x^2y$.
Comme c'est pour tout $x,y\in E$, cela veut dire que tout carré commute avec tous les éléments de $E$.
À partir de là, on voudrait prouver la commutativité, mais c'est faux en général.
Contre-exemple. Le groupe des quaternions à 8 éléments $$
\mathbb H_8=\{\pm 1,~\pm i,~\pm j,~\pm k\}
$$ avec les règles $i^2=j^2=k^2=-1,~ij=-k,~jk=-i,~ki=-j$
vérifie les hypothèses initiales.
Pour $n=3,$ on a $(ij)^3=-k^3=k=ji$ et pareillement pour tous les autres éléments.
Edit : FAUX vérification incomplète.
Or le groupe $\mathbb H_8$ n'est pas commutatif, pourtant tous ses carrés (égaux à $1$ ou à $-1$) commutent avec tout le monde.
Alain.
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