Décomp. des noyaux, espaces caractéristiques

Je ne sais pas si ça aide, mais voici un exemple.
Soit $E = \mathcal C^\infty (\R,\C)$, et $d$ l'opérateur de dérivation : $d(f) = f'$.
Les valeurs propres de $d$ sont tous les complexes $\lambda$, et les vecteurs propres sont les exponentielles $x \mapsto \exp(\lambda \cdot x)$.

Le sous-espace caractéristique $N_0(d)$ pour $\lambda = 0$ est la réunion des noyaux itérés de $d$.
Or $\ker\big(d^n\big) = \C_{n-1}[X]$, donc $N_0(d) = \C[X]$ l'espace des fonctions polynomiales.

Pour $\lambda\in\C$, par méthode de variation de la constante, on a : $\ker\big((d-\lambda \cdot I)^n\big) = \C_{n-1}[X] \cdot \exp(\lambda \cdot X)$.
En tout : $N_\lambda(d) = \C[X] \cdot \exp(\lambda \cdot X)$.

Donnons-nous une équation différentielle linéaire à coefficients constants : $\big(P(d)\big)(f) = 0$.
L'espace des solutions est bien une somme directe $
\ker\big(P(d)\big)
= \bigoplus\limits_{P(\lambda)=0}
\C_{m_P(\lambda)-1}[X] \cdot \exp(\lambda X)
$.