Décomp. des noyaux, espaces caractéristiques
Bonjour,
Certaines notions d'algèbre linéaire me posent souci : le théorème de décomposition des noyaux et les sous-espaces caractéristiques. J'arrive à les manipuler algébriquement et je comprends leur utilisation mais je ne parviens pas à sentir leur signification, autrement dit à en construire une représentation intuitive. Ainsi, peut-on se représenter géométriquement ce que signifient la multiplicité d'une valeur propre et les sous-espaces caractéristiques ? Peut-on « voir ce qu'il se passe » dans l'application du lemme des noyaux ?
Merci pour votre aide.
Certaines notions d'algèbre linéaire me posent souci : le théorème de décomposition des noyaux et les sous-espaces caractéristiques. J'arrive à les manipuler algébriquement et je comprends leur utilisation mais je ne parviens pas à sentir leur signification, autrement dit à en construire une représentation intuitive. Ainsi, peut-on se représenter géométriquement ce que signifient la multiplicité d'une valeur propre et les sous-espaces caractéristiques ? Peut-on « voir ce qu'il se passe » dans l'application du lemme des noyaux ?
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Réponses
Soit $E = \mathcal C^\infty (\R,\C)$, et $d$ l'opérateur de dérivation : $d(f) = f'$.
Les valeurs propres de $d$ sont tous les complexes $\lambda$, et les vecteurs propres sont les exponentielles $x \mapsto \exp(\lambda \cdot x)$.
Le sous-espace caractéristique $N_0(d)$ pour $\lambda = 0$ est la réunion des noyaux itérés de $d$.
Or $\ker\big(d^n\big) = \C_{n-1}[X]$, donc $N_0(d) = \C[X]$ l'espace des fonctions polynomiales.
Pour $\lambda\in\C$, par méthode de variation de la constante, on a : $\ker\big((d-\lambda \cdot I)^n\big) = \C_{n-1}[X] \cdot \exp(\lambda \cdot X)$.
En tout : $N_\lambda(d) = \C[X] \cdot \exp(\lambda \cdot X)$.
Donnons-nous une équation différentielle linéaire à coefficients constants : $\big(P(d)\big)(f) = 0$.
L'espace des solutions est bien une somme directe $
\ker\big(P(d)\big)
= \bigoplus\limits_{P(\lambda)=0}
\C_{m_P(\lambda)-1}[X] \cdot \exp(\lambda X)
$.