Un peu de rugby

Peux-tu rappeler les règles du rugby ? Combien rapporte un essai, une transformation, autres ...
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À la formulation près, c'est un grand classique. Chaque score est de la forme $3a+5b+7c$ avec $a, b, c \in \mathbb N$. Si on note $u_n$ le nombre de manières d'écrire $n$ sous cette forme, $u_n$ est le coefficient devant $z^n$ dans la série génératrice $$F(z) := \left(\sum_{a=0}^{+\infty} z^{3a} \right) \left(\sum_{b=0}^{+\infty} z^{5b} \right) \left(\sum_{c=0}^{+\infty} z^{7c} \right) = \frac{1}{1-z^3} \frac{1}{1-z^5} \frac{1}{1-z^7}.$$ Cette dernière fraction rationnelle a des pôles en chaque racines $3$-ième, $5$-ième et $7$-ième de l'unité. Puisque $3$, $5$ et $7$ sont premiers entre eux, la seule racine de l'unité commune à ces trois ensembles est $1$. Ainsi, notre fraction rationnelle a un pôle d'ordre $3$ en $1$, et des pôles d'ordre inférieurs en les autres racines de l'unité sus-citées. C'est ce pôle en $1$ qui va donner l'ordre de grandeur de $u_n$.

En effet, le développement en éléments simples de $F(z)$ est alors de la forme $$\frac{c}{(z-1)^3} + \sum_{\omega \in R} \left(\frac{c_{\omega, 1}}{z-\omega} + \frac{c_{\omega, 2}}{(z-\omega)^2}\right) + P(z),$$ où $P$ est un polynôme, $R$ est l'ensemble des racines $3$-ième, $5$-ième et $7$-ième de l'unité et $$c = \lim_{z \to 1} (z-1)^3F(z) = \lim_{z \to 1} - \frac{z-1}{z^3-1} \frac{z-1}{z^5-1} \frac{z-1}{z^7-1} = -\frac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7}.$$

On développe chaque terme en série entière de $z$ : on a $$\frac{1}{(z-1)^3} = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} (n+2)(n+1)z^n,$$ tandis que $$\frac{1}{z-\omega} = - \frac{1}{\omega} \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{z}{\omega}\right)^n$$ et $$\frac{1}{(z-\omega)^2} = \frac{1}{\omega^2} \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)\left(\frac{z}{\omega}\right)^n.$$

En comparant les termes devant $z^n$, on trouve finalement $$u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{n^2}{210}.$$

Avec un ordi, on peut aller plus loin. On a un pôle triple en $1$, et sinon, que des pôles simples, qui sont tous des racines $105$-ièmes de l'unité. On a donc $u_n$ qui est de la forme $an^2+bn+v_n$, où $v_n$ est $105$-périodique. En calculant les premiers termes, on trouve $a = \dfrac{1}{210}$, $b=\dfrac{1}{14}$, et les $105$ termes de la période de $v_n$, qui donnent l'encadrement $\dfrac{-38}{105} \leqslant v_n \leqslant \dfrac{8}{7}$.
D'où $\dfrac{1}{210}n^2 + \dfrac{1}{14}n - \dfrac{38}{105} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{210}n^2 + \dfrac{1}{14}n+\dfrac{8}{7}$.

Voici une référence pour avoir exactement tous ces 105 restes (ainsi que le reste de ce qui a été raconté dans ce fil), écrite il y a un peu moins de 5 ans par quelques grenoblois après la divine surprise d'une victoire du club de rugby grenoblois à Toulouse (ça n'arrive pas très souvent).