Polynômes irréductibles

Réponses

• Poirot

  April 2019

  Oui, ça s'appelle le test de Rabin. Si ton polynôme est de degré $n$, il suffit de tester s'il divise $X^{q^n}-X$, et qu'il est premier avec chaque $X^{q^d}-X$ pour tout diviseur $d$ de $n$.
• CarlFriedrichGauss

  April 2019

  Et peut-on calculer un facteur irréductible en temps polynômial, s'il en a un?
• Poirot

  April 2019

  Oui, en supposant $f$ sans facteurs carrés (ce à quoi on peut se ramener en divisant par le PGCD avec la dérivée, ou, si celle-ci est nulle, c'est que notre polynôme est une puissance $p$-ième, mais ça se lit sur l'écriture en somme de monômes et on peut donner facilement de quel polynôme on est la puissance $p^m$-ième) il suffit de calculer le PGCD avec chaque $X^{q^d}-X$, en faisant varier $d$ dans les diviseurs de $n$.
  
  Ce qui est caché derrière ces deux méthodes est que le produit de tous les polynômes irréductibles de degré divisant $n$ est exactement $X^{q^n}-X$. Ça permet d'ailleurs de donner une formule explicite pour le nombre de polynômes irréductibles de degré $n$ : c'est un théorème des nombres premiers presque gratuit !
• nicolas.patrois

  April 2019

  Tiens, ça me fait penser à ce dont je me souviens de l’algorithme de Berlekamp (dans Objectif agrégation).

  Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
          -- Schnoebelen, Philippe
  
• Vincent

  April 2019

  Pour préciser le propos de Nicolas,
  
  Tu calcules $\mathrm{pgcd}(P,P')$ si tu ne trouves pas 1 alors $P$ n'est pas irréductible. L'algo d'Euclide est polynomial en le degré.
  
  Si tu trouves 1, tu appliques la méthode de Berlekamp : tu regardes l'application qui a $Q \mod P$ associe $Q(X^p) \mod P$,
  tu écris la matrice dans la base $1,X,\ldots,X^{\deg P-1}$ et tu cherches le rang (c'est du pivot de Gauss donc polynomial en le degré) ; si tu trouves $\deg P -1$, c'est que $P$ est irréductible !