Famille libre sur les rationnels

Bonjour,

Voilà un exercice simple en apparence que je n’arrive pas à résoudre : soient $x\in \R,n\in \N^*$. On suppose que $x^n\in\Q$ mais que $x^k\notin \Q$ pour tout $1\leq k \leq n-1$. Le but est de montrer que la famille $1,x,...,x^{n-1}$ est libre sur $\Q$.
Mon plan : montrer que $[\Q(x):\Q]=n$, ce qui est une condition suffisante. Pour cela je considère le polynôme $P=X^n-x^n\in \Q[X]$. J’aimerais montrer que c’est le polynôme minimal de $x$ sur $\Q$. Pour cela j’ai a ma disposition entre autre la fameuse égalité $a^n-b^n = (a-b)\sum a^{n-1-k}b^k$, on encore écire $x=p/q$ puis considérer le polynôme $qP\in \Z[X]$, mais je n’arrive pas à conclure. Je pense qu’il faut essayer de joindre les deux idées pour utilisrer les deux hypothèses.
Auriez vous une indication s’il vous plaît?

Au plaisir de vous lire
B&B

PS : pourquoi pas une récurrence aussi, enfin ça ne me parait pas judicieux