Matrices orthogonales de $\mathbb{R}^4$

soland
soland
dans Algèbre
M'amusant avec les quaternions, je suis tombé
sur cette matrice orthogonale de déterminant $+1$
et me demande si ce paramétrage les couvre toutes.

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Réponses

  • marsup
    marsup
    Si je ne me trompe pas, on ne peut pas obtenir $
    \begin{bmatrix}
    \cdot & \cdot & \cdot & 1 \\
    1 & \cdot & \cdot & \cdot \\
    \cdot & 1 & \cdot & \cdot \\
    \cdot & \cdot & 1 & \cdot \\
    \end{bmatrix}
    $.
  • john_john
    john_john
    SO$_4(\R)$ est une variété de dimension $6$ ; alors, avec seulement trois paramètres, cela me paraît difficile. Certes, il y a des paramétrages alla Peano, mais ils ne sont pas de classe C$^\infty$.

    Cordialement, j__j
  • marsup
    marsup
    De toute façon, on a $SO_4 \simeq (SU_2 \times SU_2)/<-1>$, donc ce groupe est de dimension 6.

    On lit sur https://en.wikipedia.org/wiki/Rotations_in_4-dimensional_Euclidean_space#Isoclinic_decomposition la décomposition isocline (Van Elfrinkhof - 1897).
    \begin{align}A&=
    \begin{bmatrix}
    ap-bq-cr-ds&-aq-bp+cs-dr&-ar-bs-cp+dq&-as+br-cq-dp\\
    bp+aq-dr+cs&-bq+ap+ds+cr&-br+as-dp-cq&-bs-ar-dq+cp\\
    cp+dq+ar-bs&-cq+dp-as-br&-cr+ds+ap+bq&-cs-dr+aq-bp\\
    dp-cq+br+as&-dq-cp-bs+ar&-dr-cs+bp-aq&-ds+cr+bq+ap\end{bmatrix}
    \\&=
    \begin{bmatrix}
    a&-b&-c&-d\\
    b&\;\,\, a&-d&\;\,\, c\\
    c&\;\,\, d&\;\,\, a&-b\\
    d&-c&\;\,\, b&\;\,\, a
    \end{bmatrix}
    \cdot
    \begin{bmatrix}
    p&-q&-r&-s\\
    q&\;\,\, p&\;\,\, s&-r\\
    r&-s&\;\,\, p&\;\,\, q\\
    s&\;\,\, r&-q&\;\,\, p
    \end{bmatrix}
    .\end{align}
    où $
    p^2+
    q^2+
    r^2+
    s^2 =
    a^2+
    b^2+
    c^2+
    d^2 = 1$.
  • Math Coss
    Math Coss
    Deux remarques rapides. D'une part, ton paramétrage impose des relations comme \[a_{31}a_{42}+a_{32}a_{41}=0,\] qui n'ont pas de raison d'être satisfaites pour une matrice orthogonale quelconque.

    Il y a de toute façon un problème de dimension : $\dim\mathrm{SO}_4(\R)=6$ puisque $\mathrm{SO}_4(\R)$ est le quotient de $\mathrm{SU}_2(\C)\times \mathrm{SU}_2(\C)$ par le sous-groupe discret $\{\pm(\mathrm{I}_2,\mathrm{I}_2)\}$ (ou peu s'en faut). Pas possible de paramétrer le groupe orthogonal par $\R^3$.

    D'autre part, cela ressemble furieusement à « la » projection stéréographique de $\R^2$ sur la sphère unité de $\R^3$ (ou l'application réciproque ?), qui est donnée par \[\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\longmapsto\begin{pmatrix}\dfrac{2u}{1+u^2+v^2}\\\dfrac{2v}{1+u^2+v^2}\\\dfrac{1-u^2-v^2}{1+u^2+v^2}\\\end{pmatrix}.\]

    Edit : grilled. Apparemment, tu peux retrouver le premier facteur de la décomposition de marsup.
  • soland
    soland
    Merci pour vos commentaires et vos liens.
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