Théorie de Galois

jaccuzzi · April 2019

Bonjour à tous
Alors je me suis mis à la théorie de Galois... Bravo Galois... je pense que je n'aurais jamais trouvé ça tout seul ! lol... évidemment que non !
J'essaie maintenant de me faire une petite intuition. J'ai par exemple du mal avec la notion de groupe résoluble! Bon sinon je me posais la question suivante.

Voila soit $k=\mathbb{Q}$ et $k\subset E\subset D \subseteq K$ des extensions galoisiennes sur $k$. Supposons que $D$ est le corps de racines d'un polynôme $P$ de degré 5.
Supposons que $Gal(K/k)$ permute les racines de $P$ comme $\mathfrak A_5$ (le groupe alterné de $\mathfrak S_5$). Peut-on affirmer que :

- $Gal(D/k)$ permute les racines de $P$ comme $\mathfrak A_5$ ?

- $Gal(K/E)$ permute les racines de $P$ comme $\mathfrak A_5$ ou $\{Id\}$ ?

En espérant que ma question ne soit pas trop stupide.
Merci à vous

Poirot · April 2019

Qu'est-ce que tu appelles "permute les racines comme tel groupe" ?

Dans ce contexte, $Gal(D/k)$ s'identifie à un quotient de $Gal(K/k)$ de la manière suivante : à chaque $\sigma \in Gal(K/k)$ on associe sa restriction à $D$. Ces restrictions sont effectivement des éléments de $Gal(D/k)$. On voit que les éléments qui sont triviaux sur $D$ sont envoyés sur l'identité de $D$, ainsi, on peut "oublier" ceux-ci lors de ce passage au quotient. Ta première question semble donc se ramener à "quels sont les quotients du groupe $\mathfrak A_5$ ?".

$Gal(K/E)$ s'identifie à un sous-groupe de $Gal(K/k)$ de manière encore plus simple, ses éléments sont les éléments de $Gal(K/k)$ qui agissent trivialement sur $E$. Ta seconde question semble donc se ramener à "quels sont les sous-groupes du groupe $\mathfrak A_5$ ?". En fait comme $E/k$ est galoisienne, le sous-groupe $Gal(K/E)$ est en fait distingué dans $Gal(K/k)$, et ta question devient "quels sont les sous-groupes distingués de $\mathfrak A_5$ ?".

jaccuzzi · April 2019

Merci pour ta reponse!
J'ai cherché sur internet, et il semble que $\mathfrak{A}_5$ n'ait pas de sous-groupe distingué non trivial...ceci voudrait dire que j'ai bon? A savoir que $Gal(K/E)=\mathfrak{A}_5$ ou $\{Id\}$. Non?

jaccuzzi · April 2019

Bonjour,

J'essaie de montrer le resultat de Galois sur le cas particulier des polynômes de degré 5 sur $\mathbb{Q}$ à un niveau le plus basique possible. Pour ceci j'aimerai savoir comment démontrer (améliorer, reformuler, corriger ou invalider) le résultat suivant le plus intuitivement possible avec le minimum de pré-requis (notamment sur la théorie des groupes).

Merci a vous!

On note $\Omega\subseteq \mathbb{C}$ la cloture algébrique de $k=\mathbb{Q}$. Tous les ensembles considérés ici seront des sur-ensembles de $k$ et sous-ensembles de $\Omega$.

Soit $P\in k[X]$ un polynôme de degré 5 et $D$ son corps des racines. Supposons $Gal(D/k)\simeq \mathfrak{A}_5$.

Pour une extension galoisienne $F/E$ arbitraire, on note $Gal(F/E,P)\subseteq Gal(F/E)$ le sous-ensemble des autorphismes de $Gal(F/E)$ fixant les racines de $P$ (si une racine n'est pas dans $F$, elle est supposée fixée) et
$$Gal(F/E)_P=Gal(F/E)/Gal(F/E,P)$$
Lemme.

Soient $M/k$ et $K/k$ des extensions galoisiennes avec $M \subset K$ et $D\subseteq K$.

- $Gal(K/M)_P\in \{\mathfrak{S}_5, \mathfrak{A}_5,\{e\}\}$

- $Gal(K/M)_P=e\Rightarrow Gal(M/k)_P=Gal(K/k)_P$

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