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Rayon spectral et convergence

Envoyé par viko 
Rayon spectral et convergence
11 avril 2019, 17:17
Bonjour
Je cherche à montrer que la suite des puissances d'une matrice complexe converge vers la matrice nulle si et seulement si son rayon spectral est strictement inférieur à $1$.

Pour le sens direct pas de soucis, pour le sens retour la décomposition de Dunford permet de répondre assez rapidement peut-on faire sans ? (et en n'utilisant que des outils au programme de MP)



Modifié 2 fois. Dernière modification le 29/12/2020 11:50 par viko.
Re: Rayon spectral et convergence
11 avril 2019, 18:10
Une trigonalisation donne une preuve assez élémentaire, mais il faut plus d'analyse.
(Note : aux concours tu as le droit aux résultats hors-programme du genre Dunford, il faut juste être sûr.e de pouvoir les redémontrer à l'oral pour les y utiliser)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Rayon spectral et convergence
11 avril 2019, 18:14
D'accord je vais étudier plus précisément ton indication !

Et je n'étais pas au courant que les résultats proche du programme mais qui n'y figurent pas officiellement peuvent être utilisés sans preuve ! est-ce écrit quelque part ? où c'est officieux ?
Re: Rayon spectral et convergence
11 avril 2019, 18:46
Il y a une astuce pour traiter le cas d'une matrice triangulaire supérieure $T=(t_{i,j})$, ce qui suffit évidemment : on construit une matrice tirangulaire $T'=(t'_{i,j})$ à coefficients réels positifs tels que $|t_{i,j}|\leqslant t'_{i,j}$ pour tout $(i,j)$ (propriété qui se transmet aux puissances respectives de ces deux matrices) et tels que les $t'_{i,i}$ soient deux à deux distincts, ce qui rend $T'$ diagonalisable. Ensuite, âne qui trotte...

Cordialement, j88j
Re: Rayon spectral et convergence
11 avril 2019, 19:36
Je rajoute qu'une récurrence n'a jamais fait de mal à personne...

Je ne sais pas, c'est ce que mes profs me disaient grinning smiley leur explication était qu'à l'écrit si tu as mis le correcteur ou la correctrice en confiance avec ce que tu as fait jusque là, iel te fera confiance aussi pour ce résultat, et que de toute façon il n'y a pas moyen de t'en vouloir. À l'oral, puisque le jury peut te demander la preuve c'est encore plus compréhensible. Peut-être qu'il y a des correcteurs ou des correctrices qui traînent sur le forum qui pourront infirmer ou confirmer

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Rayon spectral et convergence
13 avril 2019, 18:54
supp



Modifié 2 fois. Dernière modification le 23/06/2021 13:20 par side.
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