Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
154 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Rayon spectral et convergence

Envoyé par viko 
Rayon spectral et convergence
il y a quatre mois
avatar
Bonjour
Je cherche à montrer que la suite des puissances d'une matrice complexe converge vers la matrice nulle si et seulement si son rayon spectral est strictement inférieur à $1$.

Pour le sens direct pas de soucis, pour le sens retour la décomposition de Dunford permet de répondre assez rapidement peut-on faire plus "élémentaire" ? (où l'ensemble des énoncés élémentaires est inclus dans l'ensemble des théorèmes au programme de spéciale).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Rayon spectral et convergence
il y a quatre mois
Une trigonalisation donne une preuve assez élémentaire, mais il faut plus d'analyse.
(Note : aux concours tu as le droit aux résultats hors-programme du genre Dunford, il faut juste être sûr.e de pouvoir les redémontrer à l'oral pour les y utiliser)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Rayon spectral et convergence
il y a quatre mois
avatar
D'accord je vais étudier plus précisément ton indication !

Et je n'étais pas au courant que les résultats proche du programme mais qui n'y figurent pas officiellement peuvent être utilisés sans preuve ! est-ce écrit quelque part ? où c'est officieux ?
Re: Rayon spectral et convergence
il y a quatre mois
Il y a une astuce pour traiter le cas d'une matrice triangulaire supérieure $T=(t_{i,j})$, ce qui suffit évidemment : on construit une matrice tirangulaire $T'=(t'_{i,j})$ à coefficients réels positifs tels que $|t_{i,j}|\leqslant t'_{i,j}$ pour tout $(i,j)$ (propriété qui se transmet aux puissances respectives de ces deux matrices) et tels que les $t'_{i,i}$ soient deux à deux distincts, ce qui rend $T'$ diagonalisable. Ensuite, âne qui trotte...

Cordialement, j88j
Re: Rayon spectral et convergence
il y a quatre mois
Je rajoute qu'une récurrence n'a jamais fait de mal à personne...

Je ne sais pas, c'est ce que mes profs me disaient grinning smiley leur explication était qu'à l'écrit si tu as mis le correcteur ou la correctrice en confiance avec ce que tu as fait jusque là, iel te fera confiance aussi pour ce résultat, et que de toute façon il n'y a pas moyen de t'en vouloir. À l'oral, puisque le jury peut te demander la preuve c'est encore plus compréhensible. Peut-être qu'il y a des correcteurs ou des correctrices qui traînent sur le forum qui pourront infirmer ou confirmer

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Rayon spectral et convergence
il y a quatre mois
Bonjour
La démonstration classique consiste à trouver une norme triple telle que |||A|||<1.
Si on y arrive alors A^p tend vers zéro.
On choisit une norme classique et sa norme subordonnée dont on sait calculer concrètement la norme triple d'une matrice donnée en espérant que votre programme vous donne des exemples.

Ensuite on commence par trigonaliser A puis on conjugue à nouveau avec une matrice diagonale D du type diag (a, a^2, a^3,..., a^n). En choisissant convenablement le paramètre a, on constate qu'on peut rendre la norme de À plus petite que rhô (À) + epsilon réel fixe >0
Il suffit alors de choisir epsilon de sorte que rhô (À) + epsilon <1

Une fois qu'on a trouvé une norme subordonnée telle que norme de A <1 il suffit de majorer la norme des puissances itérées pour conclure.

Il me semble que cette méthode est assez difficile.
Comme vous connaissez Dunford je vous suggère plutôt d'utiliser une décomposition en sous-espaces caractèristiques qui doit être au programme ???
Et vous calculez la limite sur chaque sous-espace caractéristique.
Bonne lecture.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 136 286, Messages: 1 317 389, Utilisateurs: 23 997.
Notre dernier utilisateur inscrit Sylva.


Ce forum
Discussions: 17 109, Messages: 165 931.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page