Bonsoir,
En complément du message précédent :
1) M - - - >transpose de M est linéaire donc continue (on est en dimension finie)
2) quel que soit le vecteur X, l apllicaton qui à M associé tXMX est continue car linéaire en M (et toujours dimension finie)
3) soit (Sp) une suite de matrices symétriques positive.convergebte vers S
On a quel que soit tSp=Sp et en passant à la limite et en utilisant la continuité de la transposée on a tS=S donc S est symetrique
Quel que soit X et quel que soit p
tXSpX superieur ou égal à 0 et par passage à la limite quel que soit X,
tXSX superieur ou egal à 0
Donc S symétrique positive.
À noter que la limite d'une suite de matrice symétrique définie positive n'est pas forcement définie positive.
Prendre la suite 1/p In qui converge vers la matrice nulle.
Bonne soiree