Déjà, reposons la question pour une suite convergente.
Ensuite :
Penses-tu pouvoir nous dire pourquoi une suite de matrices symétriques (non nécessairement positives) convergente, converge vers une matrice symétrique ?
Enfin, viko a proposé un argument, une piste, pour démontrer que le caractère positif est conservé par passage à la limite.
J'imagine que la continuité du déterminant permet d'affirmer que le caractère positif est conservé par passage à la limite.
Et pour l'aspect symétrique?
Désolée P. mais je reste au stade "facile" pour le moment. Je rame...
La positivité a peu à voir avec le déterminant, ça ne les caractérise pas du tout du moins !
Elles sont caractérisées par la positivité de leurs valeurs propres ou de manière équivalente par la positivité de x->tX*A*X
Tu peux du coup raisonner en montrant la continuité de l'application qui à M symétrique associe sa plus petite valeur propre.
L'ensemble (le cône) des matrices définies positives est toutefois ouvert dans l'espace des matrices symétriques. Le critère de Sylvester présente ce cône comme intersection finie d'ouverts (images réciproques de l'ouvert $\R^{+*}$ par des applications polynomiales donc continues).
Aparté : side, tu devrais mettre un peu de $\rm\LaTeX$ dans tes formules. Cela commence par les entourer de dollars ; les signes ^ pour les exposants et _ pour les indices, avec des accolades, c'est utile aussi.
En écrivant $S+\epsilon E_{12}$ au lieu de « S + Epsilon E12 », c'est mieux !
En écrivant $S+\epsilon E_{12}$ au lieu de « S + Epsilon E12 », c'est mieux !
Cher side evidemment l'espace ambiant etait celui des matrices symetriques.
Voici ma demonstration- je crois a l'interieur du programme de L2, je veux dire sans Sylvester. Elle consiste a montrer que le complementaire $F$ des endomorphismes definis positifs est ferme. Soit $a_n$ une suite convergente vers $a$ de points de $F.$ Il existe donc des vecteurs $x_n$ de norme 1 tels que $\langle x_na_n(x_n)\rangle \leq 0.$ Par compacite de la sphere unite $S$ il existe une sous suite $n_k$ telle que $x=\lim x_{n_k}$ existe dans $S$. De plus l'application $(a,x)\mapsto \langle x,a(x)\rangle$ est polynomiale donc continue. Donc $\lim\langle x_{n_k}a_n(x_{n_k})\rangle=\langle x,a(x)\rangle\leq 0$ et donc $a\in F.$
Réponses
une matrice symétrique $S$ est positive si et seulement si pour tout $x \in \mathbb{R}^n, x^TSx \geq 0$
Ensuite :
Penses-tu pouvoir nous dire pourquoi une suite de matrices symétriques (non nécessairement positives) convergente, converge vers une matrice symétrique ?
Enfin, viko a proposé un argument, une piste, pour démontrer que le caractère positif est conservé par passage à la limite.
Et pour l'aspect symétrique?
Désolée P. mais je reste au stade "facile" pour le moment. Je rame...
Elles sont caractérisées par la positivité de leurs valeurs propres ou de manière équivalente par la positivité de x->tX*A*X
Tu peux du coup raisonner en montrant la continuité de l'application qui à M symétrique associe sa plus petite valeur propre.
Aparté : side, tu devrais mettre un peu de $\rm\LaTeX$ dans tes formules. Cela commence par les entourer de dollars ; les signes ^ pour les exposants et _ pour les indices, avec des accolades, c'est utile aussi.
En écrivant $S+\epsilon E_{12}$ au lieu de « S + Epsilon E12 », c'est mieux !
Voici ma demonstration- je crois a l'interieur du programme de L2, je veux dire sans Sylvester. Elle consiste a montrer que le complementaire $F$ des endomorphismes definis positifs est ferme. Soit $a_n$ une suite convergente vers $a$ de points de $F.$ Il existe donc des vecteurs $x_n$ de norme 1 tels que $\langle x_na_n(x_n)\rangle \leq 0.$ Par compacite de la sphere unite $S$ il existe une sous suite $n_k$ telle que $x=\lim x_{n_k}$ existe dans $S$. De plus l'application $(a,x)\mapsto \langle x,a(x)\rangle$ est polynomiale donc continue. Donc $\lim\langle x_{n_k}a_n(x_{n_k})\rangle=\langle x,a(x)\rangle\leq 0$ et donc $a\in F.$