Matrices symétriques positives

nini
nini
dans Algèbre
Bonjour,

Pourquoi une suite de matrices positives à forcement pour limite une matrice symétrique positive?
Ou autrement dit, pourquoi Sn+ est-il un fermé?


Merci pour votre aide.

Réponses

  • viko
    viko
    Bonjour,

    une matrice symétrique $S$ est positive si et seulement si pour tout $x \in \mathbb{R}^n, x^TSx \geq 0$
  • Dom
    Dom
    Déjà, reposons la question pour une suite convergente.

    Ensuite :
    Penses-tu pouvoir nous dire pourquoi une suite de matrices symétriques (non nécessairement positives) convergente, converge vers une matrice symétrique ?

    Enfin, viko a proposé un argument, une piste, pour démontrer que le caractère positif est conservé par passage à la limite.
  • P.
    P.
    Un peu moins facile, pourquoi les matrices definies-positives forment un ouvert.
  • nini
    nini
    J'imagine que la continuité du déterminant permet d'affirmer que le caractère positif est conservé par passage à la limite.
    Et pour l'aspect symétrique?

    Désolée P. mais je reste au stade "facile" pour le moment. Je rame...
  • Poirot
    Poirot
    Pour l'aspect symétrique c'est parce que $M \mapsto {}^t\!M$ est continue.
  • Cauchyx
    Cauchyx
    La positivité a peu à voir avec le déterminant, ça ne les caractérise pas du tout du moins !
    Elles sont caractérisées par la positivité de leurs valeurs propres ou de manière équivalente par la positivité de x->tX*A*X

    Tu peux du coup raisonner en montrant la continuité de l'application qui à M symétrique associe sa plus petite valeur propre.
  • side
    side
    supp
  • P.
    P.
    Allons, j'attends des demonstrations du fait que les matrices definies positives d'ordre $n$ forment un ouvert.
  • side
    side
    supp
  • Math Coss
    Math Coss
    L'ensemble (le cône) des matrices définies positives est toutefois ouvert dans l'espace des matrices symétriques. Le critère de Sylvester présente ce cône comme intersection finie d'ouverts (images réciproques de l'ouvert $\R^{+*}$ par des applications polynomiales donc continues).

    Aparté : side, tu devrais mettre un peu de $\rm\LaTeX$ dans tes formules. Cela commence par les entourer de dollars ; les signes ^ pour les exposants et _ pour les indices, avec des accolades, c'est utile aussi.

    En écrivant $S+\epsilon E_{12}$ au lieu de « S + Epsilon E12 », c'est mieux ! 
    En écrivant $S+\epsilon E_{12}$ au lieu de « S + Epsilon E12 », c'est mieux !
  • P.
    P.
    Cher side evidemment l'espace ambiant etait celui des matrices symetriques.

    Voici ma demonstration- je crois a l'interieur du programme de L2, je veux dire sans Sylvester. Elle consiste a montrer que le complementaire $F$ des endomorphismes definis positifs est ferme. Soit $a_n$ une suite convergente vers $a$ de points de $F.$ Il existe donc des vecteurs $x_n$ de norme 1 tels que $\langle x_na_n(x_n)\rangle \leq 0.$ Par compacite de la sphere unite $S$ il existe une sous suite $n_k$ telle que $x=\lim x_{n_k}$ existe dans $S$. De plus l'application $(a,x)\mapsto \langle x,a(x)\rangle$ est polynomiale donc continue. Donc $\lim\langle x_{n_k}a_n(x_{n_k})\rangle=\langle x,a(x)\rangle\leq 0$ et donc $a\in F.$
  • side
    side
    supp
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 32

AmadouCyranoMatricule_63Quentino37 +28 Invités