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Matrices symétriques positives

Envoyé par nini 
Matrices symétriques positives
il y a quatre mois
Bonjour,

Pourquoi une suite de matrices positives à forcement pour limite une matrice symétrique positive?
Ou autrement dit, pourquoi Sn+ est-il un fermé?


Merci pour votre aide.
Re: Matrices symétriques positives
il y a quatre mois
avatar
Bonjour,

une matrice symétrique $S$ est positive si et seulement si pour tout $x \in \mathbb{R}^n, x^TSx \geq 0$
Dom
Re: Matrices symétriques positives
il y a quatre mois
Déjà, reposons la question pour une suite convergente.

Ensuite :
Penses-tu pouvoir nous dire pourquoi une suite de matrices symétriques (non nécessairement positives) convergente, converge vers une matrice symétrique ?

Enfin, viko a proposé un argument, une piste, pour démontrer que le caractère positif est conservé par passage à la limite.
P.
Re: Matrices symétriques positives
il y a quatre mois
Un peu moins facile, pourquoi les matrices definies-positives forment un ouvert.
Re: Matrices symétriques positives
il y a quatre mois
J'imagine que la continuité du déterminant permet d'affirmer que le caractère positif est conservé par passage à la limite.
Et pour l'aspect symétrique?

Désolée P. mais je reste au stade "facile" pour le moment. Je rame...
Re: Matrices symétriques positives
il y a quatre mois
Pour l'aspect symétrique c'est parce que $M \mapsto {}^t\!M$ est continue.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Matrices symétriques positives
il y a quatre mois
La positivité a peu à voir avec le déterminant, ça ne les caractérise pas du tout du moins !
Elles sont caractérisées par la positivité de leurs valeurs propres ou de manière équivalente par la positivité de x->tX*A*X

Tu peux du coup raisonner en montrant la continuité de l'application qui à M symétrique associe sa plus petite valeur propre.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Matrices symétriques positives
il y a quatre mois
Bonsoir,

En complément du message précédent :

1) M - - - >transpose de M est linéaire donc continue (on est en dimension finie)
2) quel que soit le vecteur X, l apllicaton qui à M associé tXMX est continue car linéaire en M (et toujours dimension finie)

3) soit (Sp) une suite de matrices symétriques positive.convergebte vers S
On a quel que soit tSp=Sp et en passant à la limite et en utilisant la continuité de la transposée on a tS=S donc S est symetrique

Quel que soit X et quel que soit p
tXSpX superieur ou égal à 0 et par passage à la limite quel que soit X,
tXSX superieur ou egal à 0

Donc S symétrique positive.

À noter que la limite d'une suite de matrice symétrique définie positive n'est pas forcement définie positive.
Prendre la suite 1/p In qui converge vers la matrice nulle.

Bonne soiree
P.
Re: Matrices symétriques positives
il y a quatre mois
Allons, j'attends des demonstrations du fait que les matrices definies positives d'ordre $n$ forment un ouvert.
Re: Matrices symétriques positives
il y a quatre mois
Bonjour,
N supérieur ou égal à 2
E12 la matrice avec des 0 partout sauf coefficient 1ere ligne 2 ème colonne coef 1
S matrice positive symétrique

Tout voisinage de S contient les matrices S + Epsilon E12 pour epsilon assez voisin de 0 (prendre la norme infinie sur Mn (R) pour le voir facilement) donc contient des matrices non symétriques

L' ensemble des matrices est d'intérieur vide et donc n'est pas un ouvert de Mn (R).


Bonne journée
Re: Matrices symétriques positives
il y a quatre mois
L'ensemble (le cône) des matrices définies positives est toutefois ouvert dans l'espace des matrices symétriques. Le critère de Sylvester présente ce cône comme intersection finie d'ouverts (images réciproques de l'ouvert $\R^{+*}$ par des applications polynomiales donc continues).

Aparté : side, tu devrais mettre un peu de $\rm\LaTeX$ dans tes formules. Cela commence par les entourer de dollars ; les signes ^ pour les exposants et _ pour les indices, avec des accolades, c'est utile aussi.

En écrivant $S+\epsilon E_{12}$ au lieu de « S + Epsilon E12 », c'est mieux !
En écrivant $S+\epsilon E_{12}$ au lieu de « S + Epsilon E12 », c'est mieux !
P.
Re: Matrices symétriques positives
il y a quatre mois
Cher side evidemment l'espace ambiant etait celui des matrices symetriques.

Voici ma demonstration- je crois a l'interieur du programme de L2, je veux dire sans Sylvester. Elle consiste a montrer que le complementaire $F$ des endomorphismes definis positifs est ferme. Soit $a_n$ une suite convergente vers $a$ de points de $F.$ Il existe donc des vecteurs $x_n$ de norme 1 tels que $\langle x_na_n(x_n)\rangle \leq 0.$ Par compacite de la sphere unite $S$ il existe une sous suite $n_k$ telle que $x=\lim x_{n_k}$ existe dans $S$. De plus l'application $(a,x)\mapsto \langle x,a(x)\rangle$ est polynomiale donc continue. Donc $\lim\langle x_{n_k}a_n(x_{n_k})\rangle=\langle x,a(x)\rangle\leq 0$ et donc $a\in F.$
Re: Matrices symétriques positives
il y a quatre mois
Bonsoir,
oui c'est tout à fait correct. C'est sous-entendu, mais il faut dire quelque part que x est non nul (c'est la cas, car il est de norme 1).
Je ne connaissais pas ce critère de Sylvester (ie la partie réciproque). Merci à Math Coss pour le lien wikipedia.

Bonne soirée,



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
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