Exercice

Bonjour,

peux-tu préciser ce que signifie la deuxième phrase " Assume .... $lp(f)=X_1$ " ?
et le sens précis que l'on donne à "non-negative" et "positive" ? Je crois comprendre que le premier est "positif ou nul" et le deuxième "strictement positif" ?

Il est vraiment étrange cet exercice, ou c'est moi qui ne comprends rien...
Dès la question a on demande de montrer un résultat qui est censé être le but de l'exercice...
On dirait que la question a est plutôt "montrer qu'avec les hypothèse de l'exercice ($X_1$ monôme de tête pour un certain ordre), la matrice $A$ dont les lignes sont $\alpha_1- \alpha _l$ rentre dans la deuxième alternative du théorème cité".
Puisqu'après on montre (me semble-t-il) que justement la première alternative est équivalente au fait que $X_1$ ne peut pas être le monôme de tête.

J'espère que quelqu'un saura t'aider..

Je note (1) l'hypothèse "première alternative du théorème", et (2) l'histoire de l'enveloppe convexe.
Sens (2)-(1) :
l'hypothèse donne l'existence de $c_1,\dots,c_r,d_1,\dots ,d_n$ positifs et de somme 1 tels que, pour tout $j \in \{1,\dots ,n \}$, on a :
$$0 =d_j +\sum \limits_{k=1}^r c_k a_{k,j}$$
donc $\sum \limits_{k=1}^r c_k a_{k,j}$ est négatif ou nul pour tout $j$, et $v=(c_1 ,\dots ,c_r)$ est le bon candidat pour (1)

Sens (1)-(2) :
chemin inverse on pose $d_j '= - \sum \limits_{k=1}^r v_k a_{k,j} \geqslant 0$. On pose $S=\sum \limits_{k=1}^r v_k + \sum \limits_{j=1}^n d_j'$. Les $c_k$ et les $d_j$ que l'on avait dans le premier sens sont alors les $c_k /S$ et les $d_j ' /S$.
edit : mais au fait (1) est toujours vérifié par $v=0$ non ?

Attention tu comprends mal (ou c'est moi) : 0 doit appartenir à l'enveloppe des lignes ET des vecteurs de base.

Pour comprendre ce que c'est essaie de la dessiner pour 1,2,3,4,... vecteurs de $\R ^2$. L'enveloppe convexe de $n$ points est le plus petit convexe qui contient les $n$ points (ici les extrémités des vecteurs).