Groupe SO(4)

Coco2087
Coco2087
dans Algèbre
Bonjour, actuellement je cherche à comprendre comment marchent les rotation en 4 dimensions et connaître mieux le groupe SO(4). J'ai du mal avec les transformations et cela me semble parfois trop abstrait. Est-ce que quelqu'un sait dans quelles ouvrages, sites internet ou articles je peux trouver de la documentation?
Lorsque j'aborde des exercices où l'on doit trouver une matrice de rotation par rapport à un plan, ou par rapport à un axe et ensuite changer la base, je suis tout de suite perdu.
Cordialement.

Réponses

  • soland
    soland
    Es-tu au clair pour $SO(2)$ et $SO(3)$ ?
  • Coco2087
    Coco2087
    Bonjour, j'ai fait quelques recherches entre temps, et je tombe en effet sur $SO(2)$ et sur le groupe $SO(3)$. Je reconnais que la dessus je ne suis pas si au clair que je le croyais. J'ai compris le message je vais les étudier dans le détail en premier. Merci
    Cordialement.
  • malavita
    malavita
    Bonsoir,

    jette aussi un oeil du côté des valeurs propres, s'il y a une valeur propre réelle, la restriction de $f$, à l'orthogonal du sous espace propre associé est un élément de $O_n(\R)$ avec $n \leq 3$. Sinon....

    Bonne soirée

    F.
  • Horza
    Horza
    On parle souvent de rotation autour d'un axe mais c'est une très mauvaise habitude car cela n'a de sens qu'en dimension 3.
    On évite bien des déboires en caractérisant une rotation par son plan (et son angle), car cela s'applique en toutes dimensions.
  • P.
    P.
    Si $R(\theta)=\left[\begin{array}{cc}cos \theta&-\sin \theta\\\sin \theta&\cos \theta\end{array}\right]$ et si $a\in \mathbb{O}(n)$ alors il existe une base orthonormee $e$ de l'espace euclidien de dimension $n,$ des entiers $p,q,r$ positifs ou nuls tels que $2p+q+r=n$ et des reels $\theta_1,\ldots,\theta_p$ qui permettent d'ecrire la matrice representative de $a$ dans la base $e$ par la matrice diagonale par blocs $$

    \mathrm{diag}(R(\theta_1),\ldots, R(\theta_p),I_q,-I_r).

    $$ Application: $n=4$ et $ \det a =1.$ Alors
    ou bien $p=2$
    ou bien $p=1$ et $q=0 ,2$
    ou bien $p=0$ et $q=0,2,4$



    Bref, de la forme $\mathrm{diag}(R(\theta_1),R(\theta_2))$ en se rappelant que $\theta_i$ peut etre 0 ou $\pi.$
  • Coco2087
    Coco2087
    Bonjour, je vous remercie à tous pour vos réponses, en effet nous sommes habitués à penser aux rotations en deux ou trois dimensions, je dois voir les rotations autrement, et vos conseils vont m'aider.
    Cordialement
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