Questions sur $\mathfrak S_3$
Bonsoir,
J'ai un peu de mal avec les groupes dérivés, je souhaiterais de l'aide pour comprendre deux propriétés de $\mathfrak S_3$.
1. Comment est-ce que l'on trouve que $[\mathfrak S_3,\mathfrak S_3]$ est engendré par $(123)$ et qu'il est d'ordre 3 ? Je doute fortement que l'on calcule le commutateur de chaque élément avec ses puissances. Mon cours ne parle pas encore de $\mathfrak A_n$ (j'ai vu souvent [que] cette approche est utilisée sur internet) donc je voudrais un indice en rapport directement avec une propriété sur les groupes dérivés qui m'a peut-être échappée.
2. Comment sait-on que $Ab(\mathfrak S_3)$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$? Mon cours mentionne que $|[\mathfrak S_3,\mathfrak S_3]| = 3$ mais quel rapport avec le cardinal ? J'essaie de voir un rapport avec le théorème d'isomorphisme mais je n'y arrive pas.
Merci vraiment pour votre aide.
J'ai un peu de mal avec les groupes dérivés, je souhaiterais de l'aide pour comprendre deux propriétés de $\mathfrak S_3$.
1. Comment est-ce que l'on trouve que $[\mathfrak S_3,\mathfrak S_3]$ est engendré par $(123)$ et qu'il est d'ordre 3 ? Je doute fortement que l'on calcule le commutateur de chaque élément avec ses puissances. Mon cours ne parle pas encore de $\mathfrak A_n$ (j'ai vu souvent [que] cette approche est utilisée sur internet) donc je voudrais un indice en rapport directement avec une propriété sur les groupes dérivés qui m'a peut-être échappée.
2. Comment sait-on que $Ab(\mathfrak S_3)$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$? Mon cours mentionne que $|[\mathfrak S_3,\mathfrak S_3]| = 3$ mais quel rapport avec le cardinal ? J'essaie de voir un rapport avec le théorème d'isomorphisme mais je n'y arrive pas.
Merci vraiment pour votre aide.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Bon $\mathfrak S_3$ n'est pas si gros ! Il n'a que six éléments.
Alors commence par les lister tous les six. Puis recherche les sous-groupes d'ordre 1 (il n'y en a qu'un) puis d'ordre 2 (il y en a 3) puis d'ordre 3 (il n'y en a qu'un) et enfin d'ordre 6.
Maintenant que tu as les sous-groupes, recherche ceux qui sont conjugués entre eux (deux sous-groupes conjugués sont isomorphes entre eux, en particulier ils on même nombre d'éléments). Reconnais-tu un sous-groupe distingué autre que le trivial et $\mathfrak S_3$ lui-même ? Quel est son ordre (son cardinal) ?
Quand tu auras fait cela, on pourra continuer vers la recherche du sous-groupe dérivé, du centre, des quotients, ...
Alain
Tu es en train d'apprendre (tu n'as pas encore la théorie) donc la meilleure façon est de faire des calculs et ensuite de réfléchir sur les calculs que tu as fait:
Il y a 6 éléments dans $\mathfrak{S}_3$, cela fait seulement 36 commutateurs à calculer... et en fait beaucoup moins...
par exemple par besoin de calculer les commutateurs avec id, ou avec lui-même ou avec une puissance de lui-même...
Pour calculer plus vite, tu peux aussi utiliser les propriétés de conjugaison: si tu conjugues un commutateur, c'est le commutateur des conjugués... là encore, ça réduit le nombre de calcul...
$(1,2)(2,3)(1,2)(2,3) = \cdots$
J'ai trouvé que les sous-groupes d'ordre 3 sont tous conjugués entre eux et aussi tous distingués est-ce vrai ?
Combien as-tu trouvé de sous-groupes d'ordre 3 ?
Peux-tu lister ici chacun d'eux, avec ses éléments ?
Alain
$\left \{ id,(23) \right \},\left \{ id,(12) \right \},\left \{ id,(13) \right \}$
Comment montres-tu qu'ils sont tous distingués :-S ?
Que trouves-tu quand tu évalues $(1~2) \circ (2~3)\circ (1~2)^{-1}$ ?
Alain
Pour répondre à ta question cela donne $(13)$ (donc $\left \{ id,(23) \right \}$ n'est pas distingué).
Tu as même montré que le sous-groupe $\{ id,(2~3) \}$ est conjugué au sous-groupe $\{ id,(1~3) \}$ par la conjugaison par $(1~2)$.
Si maintenant tu conjugues $\{ id,(2~3) \}$ par la conjugaison $(1~3)$, tu vas trouver le sous-groupe $\{ id,(?~?) \}$.
Rappel. Tu as peut-être vu dans ton cours une formule pour calculer la conjugaison d'un cycle $$
\sigma\circ \big(a~b~\cdots~d)\circ\sigma^{-1}=(\sigma(a)~\sigma(b)~\cdots~\sigma(d)\big)
$$ Cela devrait t'aider à faire les calculs.
Alain
\begin{array}{ccl}
\mathrm{int}_x : &G&\longrightarrow&G \\
&g&\longmapsto&\mathrm{int}_x(g) = xgx^{-1}
\end{array}
$$ est un automorphisme de $G$, c'est-à-dire un morphisme bijectif de $G$ dans $G$ (si ce n'est pas dans ton cours, démontre le, c'est facile).
Alors $\mathrm{int}_x$ envoie tout sous-groupe de $G$ sur un sous-groupe de $G$ (c'est un morphisme) de même cardinal (c'est une bijection).
Ici, pour tout $\sigma\in \mathfrak S_3$, $\mathrm{int}_\sigma$ envoie donc un sous-groupe d'ordre 2 sur un sous-groupe d'ordre 2. Comme tu n'as que trois sous-groupes d'ordre 2, tu ne pourras que les envoyer sur eux-même. Et tu as montré que tous les trois étaient image d'un autre par un $\mathrm{int}_\sigma$, tu as donc là une classe de conjugaison de sous-groupes de $\mathfrak S_3$, qui ne sont donc pas distingués.
Pour le sous-groupe d'ordre 3, appelons le $H$, quelle va être son image par un automorphisme intérieur $\mathrm{int}_\sigma$ ?
Qu'en déduit-on pour $H$ ?
Alain
Dans ce cas, $H$ est donc un sous-groupe normal vu que son image par tout $\mathrm{int}_\sigma$ est un sous-groupe d'ordre 3, le seul étant $H$.
Maintenant que tu as bien compris ce que sont les sous-groupes de $\mathfrak S_3$, on peut pour résumer tout cela construire le treillis des sous-groupes de $\mathfrak S_3$.
$$\xymatrix{{\bf 6}&&*+[F]{\mathfrak S_3} \ar@{-}[ld] \ar@{-}[dd] \ar@{-}[ddr] \ar@{-}[ddrr] \\
{\bf 3}&*+[F]{\mathfrak A_3} \ar@{-}[rdd] \\
{\bf 2}&& \langle(1~2)\rangle \ar@{-}[d]\ar@{..}[r] & \langle(2~3)\rangle \ar@{-}[dl]\ar@{..}[r] & \langle(1~3)\rangle \ar@{-}[dll] \\
{\bf 1}&& *+[F]{\{ id \}} }
$$ Les traits de bas en haut représentent l'inclusion des sous-groupes.
Les sous-groupes encadrés sont distingués, les autres sont reliés entre eux par des pointillés, marquant la classe de conjugaison.
L'ordre apparaît dans la colonne de gauche.
Le sous-groupe d'ordre 3 est appelé $\mathfrak A_3$ car c'est comme cela qu'on l'appelle couramment, c'est un sous-groupe cyclique d'ordre 3, engendré par le $3$-cycle $(1~2~3)$.
Dans ton cours on dit que le sous-groupe dérivé $D(G)$ d'un groupe $G$ est distingué dans $G$.
Ici, il n'y a donc que trois possibilités.
Commence à évaluer un commutateur, par exemple
$[(1~2),(2~3)]= ~?$
Le sous-groupe $D(G)$, contenant ce commutateur, contient donc le sous-groupe qu'il engendre. Cela permet de mieux situer les possibilités.
...
Alain
Cela me donne $((12)(23))^2=(13)^2=id$.
Donc pour toutes les transpositions le commutateur me donnera $id$ grâce à un arrangement possible des chiffres de chaque transposition pour les aligner. Pour avoir autre chose que $id$ je dois utiliser donc les 2 3-cycles qui sont dans le sous-groupe d'ordre 3. Cependant qu'est-ce qui me permettra d'exclure enfin que le sous groupe dérivé ne peut être $\mathfrak S_3$, en calculant tous les commutateurs en me servant des 2 3-cycles et voir qu'un élément de $\mathfrak S_3$ n'est pas atteint ?
Alain
C'est $(123)$.
Mais ça reste interessant, ma remarque qui suivait reste valable ici dans le sens qu'avec le changement de l'ordre des transpositions, on obtiendra toujours un des 3-cycles. Donc il reste à appliquer le commutateur aux 3-cycles. Eux donc ne pourront donner autre chose qu'un 3-cycle je suppose?
Il restera les commutateurs entre un 3-cycle et un 2-cycle $[(1~2~3),(1~2)]$.
Une autre méthode est de considérer la propriété caractéristique du sous-groupe dérivé d'un groupe.
Le sous-groupe dérivé $D(G)$ d'un groupe $G$ est le plus petit sous-groupe distingué tel que le quotient $G/D(G)$ (qu'on appelle l'abélianisé de $G$) est commutatif.
Ici, le sous-groupe $H$ est distingué, d'ordre 3. Le groupe quotient $G/H$ sera d'ordre $6/3=2$ donc cyclique, donc commutatif, donc $H$ contient le sous-groupe dérivé $D(\mathfrak S_3)$.
D'où $D(\mathfrak S_3)$.
Alain.
[edit: précisions en couleur.]
L'isomorphisme avec $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ suit aussi. C'est vraiment important que $Ab(\mathfrak S_3)$ soit d'ordre 2 pour conclure sur $D(\mathfrak S_3)$ et aussi sur l'isomorphisme avec $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ on dirait (grâce au cyclisme cyclique).
À ton avis, quel sous-groupe peut être le centre de $\mathfrak S_3$ ?
Alain
Je pense qu'il s'agit du groupe d'ordre 1 trivial. En effet, $Z(\mathfrak S_3)$ est un sous-groupe de $\mathfrak S_3$, donc en revenant à ton diagramme des sous-groupes, il s'agira de l'un d'eux. Soit
$$ \begin{array}{ccl} I : &G&\longrightarrow&Aut(G) \\ &x&\longmapsto&\mathrm{int}_x \end{array} $$
où $\mathrm{int}_x$ est définie par toi plus haut. On remarque que $Ker(I)=Z(G)$ (pas dur à montrer).
Dans notre cas $G=\mathfrak S_3$ et donc $\sigma \in Ker(I) \Leftrightarrow I(\sigma ) = id \Leftrightarrow \mathrm{int}_\sigma(g) = g \ \ \forall g\in \mathfrak S_3 \Leftrightarrow \sigma g \sigma^{-1}=g \ \ \forall g\in \mathfrak S_3$
On sait que tous les groupes d'ordre 2 sont conjugués entre eux pour un certain $\sigma_i \in \mathfrak S_3$, ce qui implique que leur $\sigma_i \notin Ker(I)$ car $\sigma_i B \sigma_i^{-1} = A$ où $A$ et $B$ sont les 2 groupes d'ordre 2 conjugués mais $A \neq B$.
On a que $\left \{ id,(23) \right \}$ et $\left \{ id,(13) \right \}$ sont conjugués grâce à $(12)$, $\left \{ id,(23) \right \}$ et $\left \{ id,(12) \right \}$ sont conjugués grâce à $(132)$ et $\left \{ id,(12) \right \}$ et $\left \{ id,(13) \right \}$ sont conjugués grâce à $(23)$.
Il reste enfin $\left \{ id,(13) \right \}$ et $\left \{ id \right \}$ comme seuls groupes possibles pour $Z(\mathfrak S_3)$, mais on remarque facilement que par exemple, $(13)(12)=(312)$ et $(12)(13)=(132)$ donc $Z(\mathfrak S_3) = \left \{ id \right \}$.
On peut aussi dire que le centre $Z(\mathfrak S_3)$ est distingué dans $\mathfrak S_3$, cela élimine les sous-groupes d'ordre 2. Il n'est pas $\mathfrak S_3$ car $\mathfrak S_3$ n'est pas commutatif, enfin le 3-cycle $(1~2~3)$ ne commute pas avec $(1~2)$.
Le seul sous-groupe possible est le sous-groupe trivial.
Alain
Ici, quel est le noyau du morphisme $\varepsilon$, signature sur $\mathfrak S_3$ ?
Alain