Questions sur $\mathfrak S_3$

Vraiment très intéressant.
Cela me donne $((12)(23))^2=(13)^2=id$.
Donc pour toutes les transpositions le commutateur me donnera $id$ grâce à un arrangement possible des chiffres de chaque transposition pour les aligner. Pour avoir autre chose que $id$ je dois utiliser donc les 2 3-cycles qui sont dans le sous-groupe d'ordre 3. Cependant qu'est-ce qui me permettra d'exclure enfin que le sous groupe dérivé ne peut être $\mathfrak S_3$, en calculant tous les commutateurs en me servant des 2 3-cycles et voir qu'un élément de $\mathfrak S_3$ n'est pas atteint ?

Mea culpa j'ai mal appliqué la formule.
C'est $(123)$.
Mais ça reste interessant, ma remarque qui suivait reste valable ici dans le sens qu'avec le changement de l'ordre des transpositions, on obtiendra toujours un des 3-cycles. Donc il reste à appliquer le commutateur aux 3-cycles. Eux donc ne pourront donner autre chose qu'un 3-cycle je suppose?

Et inversement pour l'autre inclusion de $H$ dans $D(\mathfrak S_3)$, merci beaucoup AD. Mon cours ne mentionne pas cette propriété caractéristique du sous-groupe dérivé pourtant elle m'a l'air importante.
L'isomorphisme avec $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ suit aussi. C'est vraiment important que $Ab(\mathfrak S_3)$ soit d'ordre 2 pour conclure sur $D(\mathfrak S_3)$ et aussi sur l'isomorphisme avec $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ on dirait (grâce au cyclisme cyclique).

Bonjour AD.
Je pense qu'il s'agit du groupe d'ordre 1 trivial. En effet, $Z(\mathfrak S_3)$ est un sous-groupe de $\mathfrak S_3$, donc en revenant à ton diagramme des sous-groupes, il s'agira de l'un d'eux. Soit
$$ \begin{array}{ccl} I : &G&\longrightarrow&Aut(G) \\ &x&\longmapsto&\mathrm{int}_x \end{array} $$
où $\mathrm{int}_x$ est définie par toi plus haut. On remarque que $Ker(I)=Z(G)$ (pas dur à montrer).

Dans notre cas $G=\mathfrak S_3$ et donc $\sigma \in Ker(I) \Leftrightarrow I(\sigma ) = id \Leftrightarrow \mathrm{int}_\sigma(g) = g \ \ \forall g\in \mathfrak S_3 \Leftrightarrow \sigma g \sigma^{-1}=g \ \ \forall g\in \mathfrak S_3$

On sait que tous les groupes d'ordre 2 sont conjugués entre eux pour un certain $\sigma_i \in \mathfrak S_3$, ce qui implique que leur $\sigma_i \notin Ker(I)$ car $\sigma_i B \sigma_i^{-1} = A$ où $A$ et $B$ sont les 2 groupes d'ordre 2 conjugués mais $A \neq B$.

On a que $\left \{ id,(23) \right \}$ et $\left \{ id,(13) \right \}$ sont conjugués grâce à $(12)$, $\left \{ id,(23) \right \}$ et $\left \{ id,(12) \right \}$ sont conjugués grâce à $(132)$ et $\left \{ id,(12) \right \}$ et $\left \{ id,(13) \right \}$ sont conjugués grâce à $(23)$.

Il reste enfin $\left \{ id,(13) \right \}$ et $\left \{ id \right \}$ comme seuls groupes possibles pour $Z(\mathfrak S_3)$, mais on remarque facilement que par exemple, $(13)(12)=(312)$ et $(12)(13)=(132)$ donc $Z(\mathfrak S_3) = \left \{ id \right \}$.