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Forme quadratique classification

Envoyé par geo 
geo
Forme quadratique classification
il y a cinq mois
Bonjour.

Qu'entend-on par classification des formes quadratiques ?
Est-ce que la classification est donnée par le théorème de Sylvester ?
J'ai l'impression que oui car ce théorème indique la "forme" de la matrice diagonale dans une base Q-orthogonale.
L'aspect géométrique fait-il parti de la classification ?

Merci de m'éclairer.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Forme quadratique classification
il y a cinq mois
Le théorème de Sylvester suggère un classement affine avec les signatures.
En effet cela donne des noms aux quadriques.

Je me demande si l'on n'a pas le terme "classification" quand on munit l'espace d'un produit scalaire (classification euclidienne). Un peu comme les coniques où toutes les ellipses ne se valent pas selon l'excentricité.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Forme quadratique classification
il y a cinq mois
La classification des formes quadratiques sur un e.v $E$, c'est l'étude des classes d'équivalences de la relation:

$q \sim q' \iff$ il existe $u \in GL(E)$ tel que $q \circ u=q'$
Re: Forme quadratique classification
il y a cinq mois
avatar
Bonjour,

Citation
geo

Qu'entend t-on par classification des formes quadratiques?
Est ce que la classification est donnée par le théorème de Sylvester?

Attention à ne pas ignorer le corps de base au niveau de la problématique de classification des formes quadratiques.
Le théorème de Sylvester intervient au niveau de la classification des formes quadratiques lorsque le corps de base est $\mathbb{R}$.
Re: Forme quadratique classification
il y a cinq mois
Bonjour,


Quelques commentaires :
Avec la définition précédente, le theoreme d'inertie de Sylvester concerne la classification des formes quadratiques sur un espace E de dimension finie avec pour corps de base le corps des réels.
Ce que dit ce théorème c'est que la signature (p, q) avec p+q = rang determine la classe de conjugaison.
Donc il y en a un nombre fini ce qui est un résultat tres remarquable.

Sur le corps des complexes, la classification est encore plus simple: le rang déterminé la classe.

Ensuite, dans un espace euclidien, c'est surtout la classification avec les groupes O(E) ou SO(E) si l espace est de plus orienté.
Cette fois ci c'est le spectre (réduction des matrices symétriques en base orthonormee et théoreme spectral) qui caracterise les classes de conjugaison. Évidemment la signature se déduit du spectre. Les noms des théoremes et théories changent mais c'est toujours de la classification.

Si on utilise ces résultats pour faire de la géométrie affine (ou euclidienne) en dimension 2 ou 3, il faut traiter la partie affine des coniques, on le fait en faisant une translation du repère.
Par ex en dimension 2, on retrouve qu'une hyperbole signature( 1, -1), ellipse (1,1) et parabole (1,0) correspondent aux 3 signatures données par Sylvester, (0,0) est un cas dégénère. Évidemment il y aura des équations d ellipse avec un ensemble vide de points (d (O, M) =-1)
Si on s'intéresse à l excentricité pour classer les coniques, il faut faire de la géométrie euclidienne (la notion de distance euclidienne intervient). Mais le groupe orthogonal est trop fin, car il fera une différence entre les coniques d(O, M) =1 et d (O, M) =2, ie 2 coniques homothetiques ont même excentricité. Il faut prendre un autre groupe (probablement les matrices proportionnelles aux matrices orthogonales)

De même si on veut faire de l arithmétique, les groupes GLn(Z) ou SLn(Z) pour étudier les questions de représentations des entiers. Mais on utilise aussi le corps des rationnels ou des corps finis...


Historiquement les problèmes de classification proviennent de la géométrie euclidienne puis avec Lagrange sur la classification des formes quadratiques entières positives à coefficients entiers. Mais c'est avec Gauss, qui reprend les travaux de Lagrange, que ces questions se développent de manière spectaculaires.

Bonne lecture,
geo
Re: Forme quadratique classification
il y a cinq mois
Re: Forme quadratique classification
il y a cinq mois
Je n'ai pas très bien compris la classification sur un espace euclidien. Sur R, on les classe selon la signature, sur C, selon le rang mais sur un espace euclidien? On les classe comment? suivant le signe des valeurs propres?
Merci
Re: Forme quadratique classification
il y a cinq mois
Les problèmes de classification sont souvent relatifs à l'action d'un groupe : il s'agit alors de déterminer les orbites pour l'action de ce groupe.

Pour les formes quadratiques sur un $K$-espace vectoriel $E$ : le groupe linéaire $GL(E)$ agit (à droite) sur l'espace $Q(E)$ des formes quadratiques par
$$\begin{align} Q(E)\times GL(E) &\longrightarrow Q(E)\\
(q,u)&\longmapsto q\circ u\end{align}$$
Les classes de la classification sont les orbites. C'est ce qu'a expliqué Blueberry.

Le jeu, c'est de trouver des invariants pour l'action du groupe, et si possible un système d'invariants complet ; complet veut dire que deux formes quadratiques ont même système d'invariants si et seulement si elles sont dans la même orbite.
Pour les formes quadratiques, les invariants les plus célèbres sont le rang, l'indice de Witt, le discriminant (ceci pour tous les corps), et la signature pour les formes quadratiques sur un espace vectoriel réel.
Le rang est un invariant complet sur $\mathbb C$, la signature est un invariant complet sur $\mathbb R$ (se donner la signature revient à se donner le rang et l'indice de Witt). Le discriminant est un invariant complet pour les formes quadratique non dégénérées sur un corps fini (de caractéristique $\neq 2$).

Pour les formes quadratiques sur un espace vectoriel euclidien $E$, on peut faire agir le groupe des isométries de $E$ au lieu du groupe linéaire tout entier (même action que ci-dessus). Un système d'invariant complet pour cette action est le spectre de l'endomorphisme symétrique associé à la forme quadratique (les valeurs propres de la matrice de la forme quadratique dans une base orthonormale). C'est un invariant plus fin que la signature, bien sûr : la signature est donnée par les signes des valeurs propres.
Dom
Re: Forme quadratique classification
il y a cinq mois
Il me semble qu'il s'agit de parler de l'expression des formes réduites dans des repères orthonormés.

Dans ce polycopié on parle des coniques et des classifications : [webusers.imj-prg.fr]

Je m'interroge : on a plusieurs classes d'équivalences.
Les matrices équivalentes, les matrices congruentes, les matrices semblables.
Ici les matrices considérées sont symétriques : l'intersection de "congruentes et semblables" donnent les isométries, non ?
Est-ce pertinent de parler des trois, dans ce cadre "classification des formes quadratiques" ?

Edit : Merci GaBuZoMeu, tu éclaires ma lanterne (diffuse et même plutôt confuse !) avant même que je poste mon message, dans ce fil smiling smiley



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par Dom.
Re: Forme quadratique classification
il y a cinq mois
Merci.
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