Lemme des noyaux

permaths
permaths
dans Algèbre
Bonjour à tous,
dans la démonstration du lemme des noyaux, on fait une démonstration par récurrence.
Au rang 2, on cherche à démontrer que ker P1(u) + Ker P2(u) = Ker (P1 P2)(u).
Pour cela, on écrit :

(P1 P2)(u)(x)= P1(u) ° P2(u) (x)

Je ne comprends pas ce passage (produit / composée)
Quelqu'un peut-il me donner des indications ?

Merci par avance.

Réponses

  • Magnolia
    Magnolia
    Bonjour
    On utilise essentiellement le fait que si $P(X)=X^2,$ alors $P(u)=u\circ u.$
  • permaths
    permaths
    Je ne suis pas sûr de bien comprendre.
    Est-ce que c'est simplement pour une histoire de notation ?

    u²(x)=(u(x))²
  • Bbidule
    Bbidule
    Quel sens donner à $(u(x))^2$ ("carré d'un vecteur"...)?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Permaths.

    Il te faut revoir ce qu'est un polynôme d'endomorphisme, ce que sont $u^2, u^3, ... u^0$ dans le polynôme $P(u)=a_0 u^0+a_1 u + a_2 u^2+...$.

    Cordialement.
  • permaths
    permaths
    La puissance d'un endomorphisme s'entend au sens de la composition, c'est ça ?
    Ainsi, u°u(x)=u(u(x))=u²(x)
    Je comprends mieux le terme de droite.
    Et, dans le terme de gauche, P1 P2 , c'est pareil ?
    il faut peut-être que je vois ça sous forme matricielle
  • gerard0
    gerard0
    Inutile de compliquer.

    P1P2 est une somme de produits de monômes. Les sommes deviennent des sommes, donc la seule chose à voir est ce que donne un produit de monômes :
    $ax^n\times bx^m = abx^{n+m}$
    $ au^n \circ b u^m = ab u^{m+n}$ (justifie-le).

    Une façon plus générale de voir est qu'on utilise un morphisme d'algèbre entre l'algèbre des polynômes (lois + et $\times$) et l'algèbre $(L(E), +, .,\circ)$ des endomorphismes de E.

    Cordialement.
  • permaths
    permaths
    c'est bien là mon problème : je ne vois pas comment justifier cette égalité

    u^n ° u^m =u^(n+m)

    u est un endomorpshisme : u(ax+by)=au(x)+bu(y) et ?

    C'est la remarque 1 du Gourdon p 172, mais je n'arrive pas à voir pourquoi :-(
  • Bbidule
    Bbidule
    Bonjour,

    Soit $(E,+,.)$ un espace vectoriel.
    Soit $u\in\mathcal{L}(E)$.
    Soit $m\in\N$.
    Pour tout $n\in\N$, on note $\mathcal{P}_n$: " $u^n\circ u^m = u^{n+m}$ "
    A l'aide d'un raisonnement par récurrence utilisant notamment la neutralité de $Id_E$ pour $\circ$ et l'associativité de $\circ$, on montre que, pour tout $n\in\N$, $\mathcal{P}_n$.
    Ceci étant vrai pour tout $m\in\N$, on en déduit que: $\forall m\in\N,~\forall n\in\N,~u^n\circ u^m = u^{n+m}$
  • gerard0
    gerard0
    u^n ° u^m =u^(n+m) est vrai pour toute fonction de E dans E; rien à voir avec la linéarité; c'est une pure conséquence de la définition de u^n.

    Par contre, pour passer aux monômes, puis au polynômes, la linéarité va servir. Tu peux démontrer que si u, v et w sont des endomorphismes (*), $u\circ (a v+ bw) = a u\circ v+ b u\circ w$.

    Cordialement.

    (*) en fait, ici, la linéarité de v et w n'est pas nécessaire; mais elle sera présente dans les polynômes d'endomorphismes.
  • permaths
    permaths
    Je suis désolée, mais je suis complètement bloquée...

    Pourriez-vous, s'il vous plait, me détailler les calculs de :
    P(f) ° Q(f) d'un côté

    (PQ)(f) de l'autre

    pour f endo et P et Q à votre convenance.

    Je pense que cela m'aidera à mieux comprendre, où je pêche...
  • michael
    michael
    Plutôt que quelqu'un te le fasse, essaie déjà de le faire, toi, avec des polynômes de petits degrés : tu prends $P(X)=aX^2+bX+c$ et $Q(X)=dX+e$ (tu peux même donner des valeurs numériques à $a, b, ...,e$ dans un premier temps), tu calcules $P(f) \circ Q(f)$ et $(PQ)(f)$, tu devrais voir assez vite ce qui t'as échappé (la première partie du deuxième message de gerard0 devrait même t'apparaître limpide).
  • gerard0
    gerard0
    Je confirme.
  • permaths
    permaths
    c'est bien parce que j'ai déjà essayé sur un exemple et que je ne retombe pas sur mes pattes que je sollicitais votre aide :-S
    voici un exemple :

    P(x)=3x²+2x+1
    Q(x)=x+ 4

    P°Q(u)=P(u+ 4id)
    =3 (u+ 4id)² +2 (u + 4id) + id
    =3 u² + 24 u + 48 id + 2u + 8id + id
    =3 u² + 26 u + 57 id


    (PQ) = (3 X^3 + 13 x² + 5x + 4)

    je pense que mon pb vient du premier calcul, je devrais avoir du u^3
    je ne comprends ce qu'est un polynôme d'endomorphisme, malgré mes nombreuses lectures ....
  • Math Coss
    Math Coss
    Il y a une erreur dans ton calcul de $PQ$ – en fait, deux, les coefficients de $x$ et de $x^2$ sont faux.

    Surtout, tu confonds $(P\circ Q)(u)$ et $P(u)\circ Q(u)$. Ton calcul de $(P\circ Q)(u)$ est correct mais hors sujet, et ton calcul montre clairement pourquoi. En revanche, tu dois calculer \[\newcommand{\id}{\mathrm{id}}P(u)\circ Q(u)=(3u^2+2u+\id)\circ(u+4\id)=(3u^2+2u+\id)\circ u+4(3u^2+2u+\id)\circ\id=3u^3+\cdots\] (peux-tu justifier la première deuxième égalité puis terminer le calcul ?).
  • rakam
    rakam
    Je crois que tu confonds $(PQ)(u)$ et $P(Q(u))$.
    L'égalité est en fait $(PQ)(u)=P(u)_{\circ}Q(u)$ noté plus rapidement $P(u)Q(u)$ dans l'algèbre des endomorphismes..

    En reprenant des monomes, $P(X)=X^p,\;Q(X)X^q$ tu as $(PQ)(X)=P(X)Q(X)=X^{p+q}$ mais $P(Q(X))=(Q(X))^p=(X^q)^p=X^{pq}$
  • permaths
    permaths
    voilà, merci !!!

    j'ai refait les calculs et trouve bien pour les 2 :
    3u^3 + 14 u²+ 9u +id

    effectivement, je confonds (P°Q)(u) avec P(u)°Q(u)

    ainsi ,on a ces égalités :
    (PQ)(u) = P(u) * Q(u) = P(u)°Q(u)

    par contre, je ne sais pas justifier la 1ère égalité...
  • Math Coss
    Math Coss
    Notons $v=P(u)$, il s'agit de justifier que \[v\circ(u+4\id)=v\circ u+4v\circ \id.\]

    NB : Gérard a donné la justification de cette égalité plus haut et Rakam a écrit essentiellement la même chose que moi en parallèle.
  • permaths
    permaths
    merci beaucoup !!!
    je viens de comprendre la source de mes problèmes sur les polynômes d'endormorphismes (:P)
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je fais le pédant :

    Soit $E$ un $K$-espace vectoriel. Les endomorphismes de $E$ forment une $K$-algèbre $\mathcal L(E)$ dont le produit est la composition $\circ$.
    Pour toute $K$-algèbre $A$ et tout élément $a\in A$, il existe un unique homomorphisme $\epsilon _a$ de $K$-algèbres de $K[X]$ (l'algèbre des polynômes) dans $A$ tel que $\epsilon_a(X)=a$. (On appelle $\epsilon_a$ l'évaluation en $a$.)
    Cet homomorphisme vérifie bien sûr
    $$\epsilon_a(p_0+p_1X+\cdots+p_nX^n)=p_01_A+p_1a+\cdots+p_na^n\;.$$
    On a l'habitude de noter plutôt $P(a)=\epsilon_a(P)$.

    Soit $u \in \mathcal L(E)$. Alors, pour tous polynômes $P,Q$, $\epsilon_u(PQ)=\epsilon_u(P)\circ \epsilon_u(Q)$ c.-à-d. $(PQ)(u)=P(u)\circ Q(u)$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Allez, j'ajoute encore à la pédanterie.

    Soit $Q\in K[X]$. L'homomorphisme d'évaluation $\epsilon_Q : K[X]\to K[X]$ envoie $P$ sur $P(Q)$, qu'on note aussi $P\circ Q$. On peut remarquer en passant que $X(Q)=Q=Q(X)$.

    Soit aussi $u\in \mathcal L(E)$. Alors $\epsilon_u\circ \epsilon_Q$ est l'homomorphisme de $K$-algèbres qui envoie $X$ sur $Q(u)$, il est donc égal à $\epsilon_{Q(u)}$; On a donc pour tout $P$ :
    $$ P(Q)(u)= P(Q(u))\;.$$
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