Produit de classes

Démarrelesprobas · April 2019

Salut
Soit $H$ un sous-groupe de $G$.
On a : $$(H\lhd G)\implies (\forall (a,b)\in G^2,\quad (aH)(bH)=(ab)H.

$$ Mais est-ce que la réciproque est vraie ?

GaBuZoMeu · April 2019

Si la partie droite de l'implication est vraie, on a en particulier, pour tout $b\in G$, $HbH =bH$ ... je te laisse continuer

marsup · April 2019

Oui, en prenant $b = a^{-1}$.

Il vient : $a \cdot H \cdot a^{-1} \cdot H = H$,
donc en particulier : $a \cdot H \cdot a^{-1} \cdot \{e\} \subset H$.

Démarrelesprobas · April 2019

Effectivement, merci. Je ne connaissais pas cette équivalence de $H\lhd G$.

Démarrelesprobas · April 2019

Au final, on note $H\lhd G$ lorsque les assertions équivalentes suivantes sont vraies :

1) $\forall a\in G\quad aHa^{-1}\subset H$
2) $H$ est stable par tous les automorphismes intérieurs de $G$
3) $\forall a\in G\quad aH=Ha$
4) $\forall (a,b)\in G^2\quad (aH)(bH)=(ab)H$
5) $H$ est le noyau d'un morphisme de groupes partant de $G$
6) La surjection canonique $\pi\in\mathrm{Hom}(G,G/H)$ (EDIT)

GaBuZoMeu · April 2019

Quel est le sens de 6) ?

Math Coss · April 2019

Les assertions 1, 2 et 3 sont « visiblement » équivalentes. Que ce soit équivalent à 4 était l'objet initial de ce fil, me semble-t-il. Bonne idée de l'exprimer grâce à 5 : dans un sens, tout noyau est distingué ; dans l'autre, tout sous-groupe distingué $H$ d'un groupe $G$ est le noyau de la surjection canonique $G\to G/H$.

En revanche, ton assertion 6 n'a pas trop de sens : pour pouvoir mettre $G/H$ dans un « $\mathrm{Hom}$ », il faut que ce soit un sous-groupe distingué et donc, pour pouvoir écrire la condition $\pi\in\mathrm{Hom}(G,G/H)$, il faut avoir supposé que $H$ est distingué. Autrement dit, 6 n'a de sens que si on la complète en « $H$ est distingué et $\pi\in\mathrm{Hom}(G,G/H)$ », ce qui ne constitue pas une CNS utile pour exprimer qu'un sous-groupe est distingué.

Démarrelesprobas · April 2019

L'application $\pi:G\rightarrow G/H$ qui à tout $a\in G$ associe sa classe $aH$ vérifie $\pi(ab)=\pi(a)\pi(b)$ pour tout $(a,b)\in G^2$.

Mais je crois qu'il y a en effet un problème dans la formulation de 6) pour qu'elle soit équivalente aux autres, car ça sous-entend que $G/H$ est déjà un groupe.

Comment reformuler correctement mon truc ?

Edit : merci je n'avais pas vu le post précédent. Je vire donc le 6).

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