Aide calcul déterminant diagonalisation

Sophie.smiit · April 2019

Bonjour,

Je suis dans le chapitre diagonalisation et trigonalisation.
J'ai compris la méthode mais mon problème est que je perds beaucoup de temps pour trouver les valeurs propres car je n'arrive pas à scinder directement/rapidement le polynôme caractéristique.

C'est pourquoi je vous demande si vous n'auriez pas une astuce ou une méthode plus rapide et/ou plus simple que de tout développer - simplifier - factoriser ?

Merci,

Crapul · April 2019

Bonsoir,

au -delà de chercher les racines d'un polynôme en général (racines entières évidentes, discriminant etc.), puisque le polynôme caractéristique est un déterminant, on peut essayer de voir si des manipulations sur les lignes et colonnes donnent quelque chose qui ferait apparaître un ou des facteurs, avant de se lancer dans un développement du déterminant pur et dur. On peut penser à la somme des lignes ou des colonnes, etc. Tout ça, c'est de l'entrainement.
Peut-être aurais-tu des exemples sur lesquels tu as eu du mal ?

michael · April 2019

Salut,

selon les cas, on a parfois des valeurs propres évidentes, on peut alors trouver les autres à l'aide de la trace ou du déterminant de la matrice.
Par exemple, pour $A$ une matrice $3 \times 3$ de rang strictement inférieur à $3$ (c'est parfois visible immédiatement), tu sais déjà que $0$ est valeur propre. Ensuite, en calculant $det(A)$ (qui est égal au produit des valeurs propres comptés avec leur multiplicité) et $tr(A)$ (qui est égale à leur somme), tu obtiens un système qui peut te permettre, dans certains cas de trouver les autres valeurs propres.

Autre exemple déjà signalé par Crapul : si les lignes de ta matrice ont toutes la même somme égale à $c$ alors $c$ est valeur propre et un vecteur propre est le vecteur dont toutes les composantes sont égales à $1$.

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