Module quotient.
Salut à tous.
Je cherche un idéal (du coup non bilatère) tel que $A/I$ soit un $A$ module quotient mais qu'il ne soit pas possible de munir $A/I$ d'une structure d'anneau quotient.
J'ai essayé sur le $M_{2}(\R)$ module à gauche $M_{2}(\R)P$ où $P$ la matrice élémentaire $E_{1,1}$.
Je trouve que le quotient est isomorphe pour la structure de $M_{2}(\R)$ module à gauche aux matrices nulles dans la 1er colonne.
Mais cet ensemble n'admet pas de neutre pour le produit malgré que le produit de deux matrices nulles en la 1er colonne et nulle en la premier colonne.
Comme je ne suis pas très sûr de moi en algèbre, je viens en discuter avec vous.
Qu'en dites-vous ?
Je cherche un idéal (du coup non bilatère) tel que $A/I$ soit un $A$ module quotient mais qu'il ne soit pas possible de munir $A/I$ d'une structure d'anneau quotient.
J'ai essayé sur le $M_{2}(\R)$ module à gauche $M_{2}(\R)P$ où $P$ la matrice élémentaire $E_{1,1}$.
Je trouve que le quotient est isomorphe pour la structure de $M_{2}(\R)$ module à gauche aux matrices nulles dans la 1er colonne.
Mais cet ensemble n'admet pas de neutre pour le produit malgré que le produit de deux matrices nulles en la 1er colonne et nulle en la premier colonne.
Comme je ne suis pas très sûr de moi en algèbre, je viens en discuter avec vous.
Qu'en dites-vous ?
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Réponses
Dès lors que $I$ n'est pas un idéal bilatère, $A/I$ n'est muni d'aucune structure d'anneau qui fasse de $A\to A/I$ un morphisme d'anneaux (ce qui est ce qu'on attend d'une structure d'anneau quotient) (cet énoncé marche pour tout sous-groupe $I$; en réalité on pourrait même faire un énoncé beaucoup plus général mais ce ne serait pas super intéressant ici)
Donc pour répondre à ta question initiale, n'importe quel idéal à gauche mais non bilatère convient, celui que tu proposes par exemple.
Je te mets la preuve de ce que j'ai dit au-dessus en blanc sur blanc, mais tu devrais vraiment la chercher par toi-même :
Une telle structure d'anneau, si elle existe, est unique, car la projection canonique est surjective. Je note $p$ ladite projection.
Soit $i\in I$, et $a\in A$. Alors $p(ai) = p(a)p(i) = p(a)0 = 0$ donc $ai\in I$. De même $p(ia) = 0$ donc $ia\in I$, donc $I$ est bilatère.
Donc à moins que tu aies une envie un peu différente par rapport au sens que tu donnes à "anneau quotient", 'n'importe quel' exemple convient
Je pensais au produit matriciel.
Oui c'est suffisamment compliqué pour moi si je peux me permettre. Merci pour votre réponse.