Sur $Hom(\mathbb{R},GL_n(\mathbb{R}))$

viko
viko
dans Algèbre
Bonjour,

Comment trouver les morphismes continus $\mathbb{R} \longrightarrow GL_n(\mathbb{R})$ ?

Le cas $n=1$ se traite assez bien par un argument de densité on montre que ce sont les applications $f : x \mapsto a^x$ avec $a > 0$

Hélas se résultat se généralise mal.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Pour $n=1$, écris plutôt les fonctions solutions sous la forme $x\mapsto\exp(x\alpha)$, qui se généralise bien.

    Zéroième étape : vérifier que $f(0)$ est l'identité.
    Première étape : montrer qu'une telle application continue est nécessairement dérivable.
    Deuxième étape : dériver la relation $f(w+x)=f(w)f(x)$ par rapport à $w$ et prendre $w=0$.
    Troisième étape : résoudre cette équation différentielle et conclure.

    Seule la première étape est un peu astucieuse : on commence par intégrer la relation $f(w+x)=f(w)f(x)$ par rapport à une des variables ; il faut justifier que l'intégrale de $f$ sur un voisinage de $0$ « assez petit » est inversible.
  • viko
    viko
    Merci pour le détail ça a bien fonctionné,

    c'est quand même assez surprenant que tous les morphismes continus $\mathbb{R} \longrightarrow GL_n(\mathbb{R})$ soient automatiquement de classe $\mathcal{C}^1.$

    Sommes nous dans la même situation que les morphismes de $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ ? (si $f$ est un morphisme de $\mathbb{R}$ dans lui même avec "n'importe quelle" propriété supplémentaire par exemple continue ou bien bornée au voisinage de 0 alors $f$ est de la forme $ x \mapsto ax$) ou alors on peut trouver des morphismes $\mathbb{R} \longrightarrow GL_n(\mathbb{R})$ qui ne sont pas de la forme $x \mapsto exp(xA)$ ?

    Enfin, sait-on exhiber tous les morphismes $\mathbb{R} \longrightarrow GL_n(\mathbb{R})$ ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Si tu enlèves toute hypothèse de continuité, $\mathbb R$ c'est vraiment une horreur : c'est une somme directe de $\mathfrak{c}$ fois $\mathbb Q$, donc un morphisme vers $GL_n(\mathbb R)$ c'est $\mathfrak{c}$ morphismes de $\mathbb Q$ vers $GL_n(\mathbb R)$ : autant te dire qu'il y en a beaucoup qui ne sont pas de la forme $x\mapsto \exp(xA)$ (déjà tu peux choisir un $A$ différent par copie de $\mathbb Q$ :-D )

    De là à classifier les morphismes $\mathbb Q \to GL_n(\mathbb R)$... il s'agirait de trouver les matrices qui ont une racine $k$-ième pour tout $k$, et qui ont un système de telles racines "cohérent"
  • viko
    viko
    Qu'entends-tu par $\mathfrak{c}$ ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Le cardinal de $\mathbb R$
  • viko
    viko
    Oui d'accord ça semble un peu au-delà de ce que je maîtrise :-D
  • marsup
    marsup
    Eh bien, il faut avoir $f(1/3)^3 = f(1/2)^2 = f(1)$.

    Mais il faut aussi avoir $f(1/3) = f(1/6)^2$, et $f(1/2) = f(1/6)^3$.

    (il ne suffit pas de trouver une matrice $X$ telle que $X^n = f(1)$ pour avoir $f(1/n) = X$.)
  • viko
    viko
    En effet, je vais regarder ce que je peux en dire, ça semble plus dur que prévu !
  • marsup
    marsup
    Cela dit, par Bezout, il (faut et il) suffit que les $f(1/n)$, commutent entre elles.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Marsup : je ne comprends pas ton dernier message... pour $ n=1 $ , si je prends $ f(1/4) = i $ , ça commute bien avec $ 1 $, pourtant je ne peux pas avoir $ f(1/2)= 1 $

    Je parlais de système cohérent parce que $ \mathbb Q $ est la colimite (union ici si on préfère) des $ 1/n \mathbb Z $.
  • marsup
    marsup
    Ah oui, problème ! Désolé.

    Je me disais juste que sous commutation, $f(1/2) / f(1/3)$ était gratuitement une racine carrée de $f(1/3)$ et une racine cubique de $f(1/2)$.

    Et d'autre part $f(1/2) / f(1/3) = f(1/2-1/3) = f(1/6)$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 28

AmadouCidrolinCyranoJLTJLapinJean-Louis AymeSethMorleyJuniorThierry PomaVassilliaabcdhx1_210stfj +16 Invités