Danzer p 412 ou Ketrane p 226
Bonjour,
Dans l'exercice "Trois enfants une balle" présent dans les deux ouvrages cités, je ne comprends pas le passage suivant:
On établit que M admet 3 valeurs propres distinctes (donc M est diagonalisable), puis comme $X_n=M^nX_0$ en posant $X_0=a u_1+b u_2+c u_3$ où $u_0, u_1$, et $u_3$ sont les trois vecteurs propres, on arrive directement à l'expression de $X_n$ avec les puissances sur les valeurs propres. Ne devons-nous pas multiplier M par la matrice de passage avant ça? Est-ce qu'on confond ici application linéaire et matrice?
Ce n'est pas du tout clair pour moi...
Merci pour votre aide.
Dans l'exercice "Trois enfants une balle" présent dans les deux ouvrages cités, je ne comprends pas le passage suivant:
On établit que M admet 3 valeurs propres distinctes (donc M est diagonalisable), puis comme $X_n=M^nX_0$ en posant $X_0=a u_1+b u_2+c u_3$ où $u_0, u_1$, et $u_3$ sont les trois vecteurs propres, on arrive directement à l'expression de $X_n$ avec les puissances sur les valeurs propres. Ne devons-nous pas multiplier M par la matrice de passage avant ça? Est-ce qu'on confond ici application linéaire et matrice?
Ce n'est pas du tout clair pour moi...
Merci pour votre aide.
Réponses
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Bah puisque $u_i$ est un vecteur propre, c'est bien $Mu_i$ qui est un multiple de $u_i$. Si tu mets des matrices de passage dans l'affaire tu vas obtenir quelque chose du genre $PMP^{-1}e_i$ multiple de $e_i$, où $e_1=(1,0,0)$ etc.
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Ah!
Dans mon esprit, c'était parce que M était sous forme diagonale…
Mais en effet, dans n'importe qu'elle base, on aura toujours $Mu_i$ multiple de $u_i$.
Merci bien, c'est plus clair!
Pour moi si on parle de matrice, on est dépendant d'une base, mais ici ce n'est pas important.
J'espère avoir bien compris.
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Bonjour!
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