Danzer p 412 ou Ketrane p 226

nini · April 2019

Bonjour,

Dans l'exercice "Trois enfants une balle" présent dans les deux ouvrages cités, je ne comprends pas le passage suivant:
On établit que M admet 3 valeurs propres distinctes (donc M est diagonalisable), puis comme $X_n=M^nX_0$ en posant $X_0=a u_1+b u_2+c u_3$ où $u_0, u_1$, et $u_3$ sont les trois vecteurs propres, on arrive directement à l'expression de $X_n$ avec les puissances sur les valeurs propres. Ne devons-nous pas multiplier M par la matrice de passage avant ça? Est-ce qu'on confond ici application linéaire et matrice?
Ce n'est pas du tout clair pour moi...

Merci pour votre aide.

Maxtimax · April 2019

Bah puisque $u_i$ est un vecteur propre, c'est bien $Mu_i$ qui est un multiple de $u_i$. Si tu mets des matrices de passage dans l'affaire tu vas obtenir quelque chose du genre $PMP^{-1}e_i$ multiple de $e_i$, où $e_1=(1,0,0)$ etc.

nini · April 2019

Ah!
Dans mon esprit, c'était parce que M était sous forme diagonale…
Mais en effet, dans n'importe qu'elle base, on aura toujours $Mu_i$ multiple de $u_i$.
Merci bien, c'est plus clair!
Pour moi si on parle de matrice, on est dépendant d'une base, mais ici ce n'est pas important.
J'espère avoir bien compris.

Danzer p 412 ou Ketrane p 226

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