Module cyclique.
Bonjour à tous.
Soit $A$ un anneau commutatif. Et je considère des morphismes de A module.
Un module $N$ est cyclique ssi il existe un $x \in N$ tel que $N = Ax$.
J'ai montré qu'un module $N$ est cyclique ssi $N$ est isomorphe à $A/Ann(N)$ avec $Ann(N) = \{ a \in A ; \forall n \in N, an =0 \}$.
Je considère un $K$ espace vectoriel de dimension finie $V$.
Un endomorphisme $f$ de $V$ est cyclique de degré $P \in K[X]$ ssi $V$ est isomorphe à $K[X]/(P)$ lorsqu'on le muni de la structure de $K[X]$ module induite par $f$.
Je prétend que dans cette définition $P$ est toujours un polynôme associé à $\mu_{f}$ le polynôme minimal de $f$.
Si $f$ est cyclique de degré $P$ alors $E = K[X]/(P)$ donc $E$ est cyclique ainsi $ K[X]/(P) = K[X]/(\mu_{f})$. Cela prouve-t-il que $P$ est associé à $\mu_{f}$ ?
Ce sont des choses nouvelles pour moi, alors veillez excuser mes possibles (certaines ?) incompréhensions.
Je vous souhaite une bonne soirée.
Soit $A$ un anneau commutatif. Et je considère des morphismes de A module.
Un module $N$ est cyclique ssi il existe un $x \in N$ tel que $N = Ax$.
J'ai montré qu'un module $N$ est cyclique ssi $N$ est isomorphe à $A/Ann(N)$ avec $Ann(N) = \{ a \in A ; \forall n \in N, an =0 \}$.
Je considère un $K$ espace vectoriel de dimension finie $V$.
Un endomorphisme $f$ de $V$ est cyclique de degré $P \in K[X]$ ssi $V$ est isomorphe à $K[X]/(P)$ lorsqu'on le muni de la structure de $K[X]$ module induite par $f$.
Je prétend que dans cette définition $P$ est toujours un polynôme associé à $\mu_{f}$ le polynôme minimal de $f$.
Si $f$ est cyclique de degré $P$ alors $E = K[X]/(P)$ donc $E$ est cyclique ainsi $ K[X]/(P) = K[X]/(\mu_{f})$. Cela prouve-t-il que $P$ est associé à $\mu_{f}$ ?
Ce sont des choses nouvelles pour moi, alors veillez excuser mes possibles (certaines ?) incompréhensions.
Je vous souhaite une bonne soirée.
Réponses
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Tu peux essayer de prouver le résultat général suivant qui répondra à ta question : soit $I,J$ deux idéaux (à gauche disons) de l'anneau $A$ (pas forcément commutatif, unitaire par contre je crois l'utiliser dans ma preuve) tels que $A/I\simeq A/J$ en tant que $A$-modules. Alors $I=J$.
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Bonjour maxtimax.
Tout d'abord puisque vous me m'avez pas repris puis-je en déduire que je n'ai pas trop dit de bêtises dans mon post ?
Ensuite, j'avais déjà pensé à prouvé ce résultat mais je me suis dit qu'en fait non il devait être faux. Je sais pas pourquoi j'ai pensé ça, j'avais imaginé $K[X_{0},...]/(X_{0}) = K[X_{1},...] = K[X_{0},...] = K[X_{0},...]/(0)$
Mais j'aurais du être plus précis, ça ne doit pas être un isomorphisme de $K[X_{0},...]$ module.
Pour le premier isomorphisme $K[X_{0},...]/(X_{0}) = K[X_{1},...]$ noté $ \varphi( \bar{\Sigma a_{i} X^{i}} ) = \Sigma a_{i} X^{i} $
Hum... Oui en effet je suis allé un peu vite, pour que ce morphisme soit bien définie il faut que $X_{0}$ soit la constante nulle dans $K[X_{1},...]$ elle n'a aucun raison de l'être.
Que pensez vous de cette argument ? $X_{0} \notin K[X_{1},...]$ donc la loi externe produit n'est même pas défini.
Donc il n'existe pas de morphisme $K[X_{1},...]$ linéaire entre ces anneaux. -
A présent je me penche sur votre question et je vous remercie de votre aide.
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Bon pour la preuve je n'ai pas trop d'idée.
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Non tu n'as pas dit de bêtises.
En effet, l'isomorphisme que tu mentionnes est un isomorphisme d'anneaux, pas de $K[X_0,...]$-modules.
Pour la preuve, tu peux essayer de réfléchir au fait que $N\simeq A/Ann(N)$ lorsque $N$ est cyclique. En d'autres termes, comment récupérer $I$ à partir de $A/I$ ? -
Si on note $N$ le $A$ module $A/I$ alors $I = Ann(N)$. En particulier si pour la structure de $A$ module $A/I = A/J$ alors $I = J$.
Je pense que la subtilité c'est que je n'ai pas écrit $Ann(A/I) = I$ en effet comme on on l'a montré le résultat étant faux pour les anneaux quotients.
Donc c'est bien $Ann(N)$ et non $Ann(A/I)$.
Après je ne suis pas sûr à 100% -
Quoi ? $ Ann(A/I) = I $ c'est pareil que $ Ann(N) = I $ si $ N=A/I $
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Très bien merci. Donc je n'ai pas de preuve ^^.
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Bon. Soit $x\in A$ qui tue $A/I$. Que dire de $x\cdot \overline{1}$ ?
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On a $x . \bar{1} = 0$ car $\bar{1} \in A/I$.
On en déduit que $x \in I$ car $\bar{x} = \bar{0}$. -
Ok. Donc si $ A/ I \simeq A/J $, et $ x $ tue $ A/I $, alors $ x $ tue $ A/J $ et donc ...?
-
$x \in J$. Par symétrie $I = J$.
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