Produit dans une C*-algèbre

La réponse à la première question est : ce n'est pas nécessairement stable par produit. En effet, on se place dans la C*-algèbre $\mathcal{M}_2(\C)$. On considère $x=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$ et $y=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ -1 &1 \end{pmatrix}$. Alors $x$ appartient à l'ensemble $E$ et $y$ aussi, car $y$ est positif.
Mais $xy=\begin{pmatrix} 1 & -i \\ -1 &i \end{pmatrix}=s+it$ avec $s=\begin{pmatrix} 1 &\frac{-1-i}{2} \\ \frac{-1+i}{2} & 0 \end{pmatrix}$ et $t=\begin{pmatrix} 0 &\frac{-1-i}{2} \\ \frac{-1+i}{2} & 1\end{pmatrix}$.
$s$ et $t$ sont autoadjoints, mais $st \neq 0$.
Or si $s=u-v$ et $t=u'-v'$, alors $st=uu'-uv'-vu'+vv'$ devrait être égal à $0$ si $xy$ appartenait à $E$.

[edit: $E$ est l'ensemble dont on veut prouver la stabilité par produit]