Équation complexe

frinoug · April 2019

Bonjour
Je ne parviens pas à résoudre cette équation : z^4 + iz² - (1-i) = 0
On me demande le résultat sous forme algébrique.

J'ai posé Z = z² et ai calculé le discriminant, que je trouve égale à 3-4i

J'ai donc essayé de calculer les 4 valeurs de z mais je n'arrive pas à faire sortir le i de sous la racine, ce qui m'empêche de mettre sous forme algébrique.
J'ai également essayé de mettre delta sous forme trigonométrique mais je ne parviens pas à trouver son argument car ce n'est pas une valeur connue du cercle trigonométrique.
Merci d'avance de votre aide !

Math Coss · April 2019

Tu dois trouver $a$ et $b$ réels tels que $(a+b\mathrm{i})^2=3-4\mathrm{i}$ : les as-tu ?

Rappel (?) : aux équations évidentes $a^2-b^2=3$, $2ab=-4$, tu peux ajouter l'équation $a^2+b^2=\sqrt{3^2+(-4)^2}$ (d'où sort-elle ?).

NB : bien sûr, il ne faut pas laisser $\sqrt{3^2+(-4)^2}$ tel quel.

frinoug · April 2019

Pour l'équation a²-b² = 3 et 2ab=-4
Je croix qu'il faut développer le (a+bi)² et on trouve ces 2 équations par identification car l'écriture d'un complexe est unique.

Pour l'équation a²+b²=... le membre de droite correspond au module de 3-4i mais je ne vois pas pourquoi c'est égal à a²+b².

Math Coss · April 2019

C'est assez évident : $(a+b\mathrm{i})^2=3-4\mathrm{i}$, alors $\left|(a+b\mathrm{i})^2\right|=|3-4\mathrm{i}|$ donc $a^2+b^2=\sqrt{3^2+(-4)^2}$. Tu n'as pas encore calculé $a$ et $b$ ?

frinoug · April 2019

Je trouve a =\sqrt{3+2sqrt{5}} / sqrt{2}
et
b =\sqrt{-3+2sqrt{5}} / sqrt{2}

Math Coss · April 2019

D'où peuvent bien sortir toutes ces racines carrées ?

frinoug · April 2019

C'est faux ?

je trouve a²+b² = sqrt{20} = 2sqrt{5} donc en résolvant le système il y a toujours les racines...

frinoug · April 2019

ah mince, j'ai trouvé mon erreur, je recalcule a et b...

frinoug · April 2019

J'ai a=2 et b=1

Math Coss · April 2019

C'est mieux mais pas tout à fait ça : $(2+\mathrm{i})^2=3+4\mathrm{i}$ alors que l'on voudrait $3-4\mathrm{i}$.

frinoug · April 2019

Effectivement, mais je ne vois pas pourquoi ce raisonnement ne donne pas 3-4i...
Du coup on veut le conjugué de 3+4i, soit (2-i)²
Est-ce que c'est parce que b²=1 implique b=1 ou b = -1 ? mais dans ce cas, comment savoir à l'avance lequel est bon ?

frinoug · April 2019

En fait c'est bon, j'ai trouvé grâce à la 3ème équations, dont je ne m'étais pas servie...

Dois-je refaire la même méthode pour résoudre z²= -1 et z² = 1-i , en posant (x+yi)² = z² ?

Math Coss · April 2019

Pour $z^2=-1$, ça paraît un outil surdimensionné : tu dois pouvoir donner les solutions sans calcul !
Pour l'autre équation, tu as le choix entre recommencer le même type de choses ou chercher une expression trigonométrique.

frinoug · April 2019

J'ai trouvé par trigonométrie pour les 2, cependant on me demande une forme algébrique est j'ai toujours cos(-pi/8), sin(7pi/8)... que je ne sais pas simplifier.
Peut on quand même considérer que c'est sous forme algébrique ?

jean lismonde · April 2019

bonsoir

ton équation bicarrée s'écrit : $Z^4 + iZ^2 - (1-i) = 0$

le discriminant est égal à $i² + 4(1-i) = 3 - 4i = (2 - i)^2$

d'où les deux racines en Z² : - 1 = i² et $1 - i = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$

et donc tu tombes sur deux racines complexes conjuguées : z = i et z = - i

et deux racines complexes opposées : z = + ou - $\sqrt{\sqrt{2}}[cos\frac{\pi}{8} - i sin\frac{\pi}{8}]$

soit encore + ou - $\frac{1}{2}[\sqrt{2\sqrt{2}+2} - i\sqrt{2\sqrt{2}-2}]$

cordialement

Math Coss · April 2019

Pour résoudre $z^2=-1$, tu as juste dit : « les solutions sont $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$ », n'est-ce pas ?

Pour l'autre, si on te demande les solutions sous forme algébrique, il faut repartir comme ici.

frinoug · April 2019

Bonsoir jean lismonde,

Effectivement j'avais fini par trouver (avec de l'aide) jusqu'à ton avant dernière ligne de calcul mais je n'arrive justement pas à trouver la dernière ligne de calcul sans les cos et les sin.

Cordialement

Math Coss · April 2019

Je reviens un peu en arrière : on a $a^2=4$, $b^2=1$ et $2ab=-2$ ; on cherche $a$ et $b$. La première réponse de frinoug, $2+\mathrm{i}$ était erronée.

frinoug a écrit:

Est-ce que c'est parce que $b^2=1$ implique $b=1$ ou $b = -1$ ? mais dans ce cas, comment savoir à l'avance lequel est bon ?

Je dirais que c'est surtout parce que l'implication $b^2=1\implies b=1$ est fausse. On sait que $a=\pm2$ et $b=\pm1$. On a l'impression que cela fait quatre solutions mais la relation $2ab=-2$ indique que $a$ et $b$ sont de signe contraire. On a donc [$a=2$ et $b=-1$] ou [$a=-2$ et $b=1$]. Cela donne deux racines carrées : $\pm(2-\mathrm{i})$. Cela n'a rien d'étonnant puisque le carré d'un complexe et de son opposé sont égaux !

Pour la dernière étape, on cherche $a$ et $b$ tels que $(a+b\mathrm{i})^2=1-\mathrm{i}$. Cela donne les relations $a^2-b^2=1$, $2ab=-1$, $a^2+b^2=\sqrt2$. On voit un système linéaire de deux équations à deux inconnues $a^2$ et $b^2$. On en tire que $2a^2=1+\sqrt2$, $2b^2=-1+\sqrt2$ et par ailleurs, $a$ et $b$ sont de signes opposés. D'où \[a+b\mathrm{i}=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt2}2}-\sqrt{\frac{-1+\sqrt2}2}\;\mathrm{i}\right).\]Vérification :\begin{align*}\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt2}2}-\sqrt{\frac{-1+\sqrt2}2}\;\mathrm{i}\right)^2
&=\frac{1+\sqrt2}2-\frac{-1+\sqrt2}2-2\sqrt{\frac{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}{4}}\mathrm{i}\\
&=1-\mathrm{i}\end{align*}Qu'est-ce qui t'a bloqué ?

frinoug · April 2019

Bonsoir
J'étais bloquée car je suis passée par la forme exponentielle, mais j'ai réussi finalement, mais c'est plus clair comme ça pour les signes.

Merci beaucoup pour votre aide !

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