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Interprétation ellipse

Envoyé par Pascal R 
Interprétation ellipse
l’an passé
Bonjour
Je cherche à résoudre l'équation suivante dans $\mathbb{C}$ : $$
|z+i-2|+|z+1|=1.

$$ Je pense avoir compris que, géométriquement, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ qui sont solutions sont situés sur une ellipse dont les foyers sont situés aux points d'affixes $2-i$ et $-1$.

En revanche, je ne parviens pas à résoudre cette équation analytiquement... J'aurais bien besoin d'un coup de pouce !!
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Interprétation ellipse
l’an passé
Bonjour,

Vous avez identifié toutes les solutions. Que cherchez-vous de plus ?
Si c'est une équation cartésienne que vous recherchez vous n aurez rien résolu analytiquement.
Dans ce cas là le mieux serait de l'exprimer dans un repère cartésien avec pour centre le milieu de vos 2 foyers et pour directions des abscisses la droite FF' et pour axe des ordonnées la droite orthogonale. Ça revient à faire une transformation z'=az+b (le repère sera en plus direct ; pour votre axe des ordonnées vous aviez 2 choix possibles. Avec cette transformation vous aurez un repéré direct si on considère l'orientation habituelle du plan complexe).
Vous ré-exprimez l'équation en fonction de z' et en faisant des calculs vous devriez retrouver une équation x'^2/a^2 +y'^2/b^2=1

Et à mon avis si vous recherchez un formulaire sur les coniques vous trouvez un résultat tout fait qui vous donnera a et b en fonction de FF'.

Mais encore une fois vous avez trouvé toutes les solutions...
à moins que votre question soit de tracer le lieu ???



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Interprétation ellipse
l’an passé
En fait, je cherche justement à obtenir une équation du type $X^2/a^2+Y^2/b^2 =1$ en travaillant sur l'expression de départ... Merci pour votre réponse
Re: Interprétation ellipse
l’an passé
Dans le repere d'origine il y aura une partie affine cx+dy+e et un terme en xy où x et y sont les parties réelle et imaginaire de z.
Re: Interprétation ellipse
l’an passé
Et si vous cherchez un repere adapté et que vous utilisiez une similitude directe j'ai oublié de préciser que le coefficient a de la transformation z'=az+b est de module 1 (ce qui correspond à l angle de rotation pour que les 2 repères orthonormes aient les mêmes vecteurs directeurs)
Re: Interprétation ellipse
l’an passé
Merci beaucoup, je vais tenter ça !
Re: Interprétation ellipse
l’an passé
bonjour

ton équation $|z + i - 2| + |z + 1| = 1$ correspond à une ellipse imaginaire

puisque la distance focale est égale à $\sqrt{10}$
alors que la somme des distances d'un point M quelconque de l'ellipse
aux deux foyers F1 et F2 est seulement de 1

tu ne pourras donc pas trouver une équation cartésienne de ton ellipse
ni a fortiori une équation réduite (ou canonique)

prenons un cas d'ellipse réelle soit $|z + i - 2| + |z + 1| = 4$
la distance focale est toujours $\sqrt{10}$
et la somme des distances de M aux foyers est supérieure à la distance focale

posons $z = x + iy$ ; ton équation devient :
$|x - 2 + i(y + 1)| = 4 - |x + 1 + iy|$ soit encore :

$\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 1)^2} = 4 - \sqrt{(x + 1)^2 + y^2}$ soit en élevant au carré il vient :

$8\sqrt{(x + 1)^2 + y^2} = 6x - 2y + 12$ qui exige $y < 3(x + 2)$ (condition nécessaire)

en élevant à nouveau au carré chaque membre de l'équation on trouve l'équation cartésienne de la conique :

$$7x^2 + 6xy + 15y^2 - 4x - 12y - 20 = 0$$

en calculant le discriminant du trinôme des termes du second degré on trouve un résultat négatif - 384
ce qui confirme l'absence de branches infinies de la conique et donc qu'il s'agit bien d'une ellipse

d'autre part si on injecte y = 3x + 6 dans l'équation de la conique
on vérifie l'absence de solution réelle en x donc pas d'intersection de la conique avec cette droite

le centre de l'ellipse est situé au milieu de la distance focale soit le point I de coordonnées 1/2 et - 1/2

les axes de la conique sont portés par les droites $y = - \frac{x + 1}{3}$ (droite focale)
et la droite $y = 3x - 2$ qui passe par le centre I et perpendiculaire à la première

a le demi grand axe de l'ellipse est 2 d'après la définition de la conique
c la demie distance focale est égale à $\frac{\sqrt{10}}{2}$
nous pouvons en déduire b le demi petit axe par la relation $a^2 = b^2 + c^2$
soit ici : $b^2 = 4 - \frac{10}{4} = \frac{6}{4}$ et donc $b = \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

et donc sur les nouveaux axes déterminés par la droite focale et sa perpendiculaire en I
on en déduit l'équation réduite de l'ellipse : $$\frac{X^2}{4} + \frac{2Y^2}{3} - 1 = 0$$

cordialement



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jean lismonde.
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