Anneaux noethériens exemples non triviaux

Un_compact_ferme
Un_compact_ferme
dans Algèbre
Bonjour !
Je suis à la recherche d'exemples d'anneaux noethériens mais qui sont légèrement plus élaborés que ce que j'ai pu trouver jusqu'ici.

J'entends par là que les anneaux considérés ne sont ni principaux, ni des corps.

J'avais noté Z[racine de 5] mais j'ai oublié pourquoi il est noethérien. Si vous pouviez m'expliquer. Merci !

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Tout anneau finiment engendré (par exemple $\Z[\sqrt{5}]$) est noethérien : en effet c'est un quotient de $\Z[X_1,...,X_n]$ qui est noethérien (par récurrence, avec : si $A$ est noethérien, $A[X]$ l'est aussi)
    Bien sûr cela marche avec "tout anneau finiment engendré sur d'un anneau noethérien", cela donne déjà pas mal d'exemples.

    Tu as aussi les localisés d'anneau noethérien : si $S$ est une partie multiplicative de $A$, et $A$ est noethérien, alors $S^{-1}A$ est noethérien (preuve : qu'est-ce qu'un idéal de $S^{-1}A$ ?). Donc par exemple tu as les $\mathbb{Z}_{(p)}$ pour $p$ un nombre premier, qui ne sont pas finiment engendrés, mais qui n'en restent pas moins noethériens.
  • Un_compact_ferme
    Un_compact_ferme
    Ah oui d'accord merci !
  • Gentil
    Gentil
    A propos, on peut lire que $A[X_{1},...,X_{n},...]$ est noethérien. On récurrence, grâce au transfert de Hilbert, on peut montrer par récurrence que $A[X_{1},...,X_{n}]$ est noethérien pour tout entier naturel $n$ non nul. Est-ce suffisant pour conclure que $A[X_{1},...,X_{n},...]$ est noethérien ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Non, c'est d'ailleurs faux pour tout $A$ non nul; où est-ce que tu as lu ça ?
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Bonjour,

    Si je ne m'abuse, $ A[ X_1 , \dots , X_n ] $ n'est pas noethérien, parce que, si tu prends la suite croissante d'idéaux : $ (X_1) \subset ( X_1 , X_2 ) \subset \dots \subset (X_1 , \dots , X_n) \subset \dots $, elle ne se stabilise pas à partir d'un certain rang. Non ?

    Essaye de le vérifier par absurde :
    Tu supposes que la suite se stabilise à partir d'un $ n_0 $, et donc, par suite : $ X_{ n_{0} + 1 } \in (X_1 , \dots , X_{n_{0}} ) $, et tu poursuis ton raisonnement ( un peu technique et inutile ) jusqu'à ce que tu arrives à une contradiction.
  • Gentil
    Gentil
    Ah oui je me suis trompé, lorsque l'anneau $A$ est noethérien alors $A[X_{1},...,X_{n}]$ est noethérien quelque soit l'entier $n$ non nul. Mais $A[X_{1},...,X_{n},...]$ ne l'est pas ! Du coup la réponse à ma question est négative, ce n'est pas suffisant.
  • Poirot
    Poirot
    @Pablo : j'ai l'impression que tu méprends sur la définition de $A[ X_1 , \dots , X_n ]$. Il n'y a pas de $X_{n+1}$ dans cet anneau.
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Pardon. Je parlais de $ A[X_1 , \dots , X_n , \dots ] $ qui est non noethérien, et non de : $ A[X_1 , \dots , X_n ] $. :-)
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