Somme des n premiers cubes

Niaston · April 2019

Bonsoir à tous,

Est enfin venu le temps pour moi de vous demander un éclaircissement ! Je me questionnais sur tant de choses que je ne savais pas par où commencer... Mais j'ai décidé d'officialiser mon arrivée par une question toute simple qui me trotte tout de même dans la tête depuis quelques jours.

Il y'a une semaine, à peine, j'ai découvert que la somme des n premiers cubes (1³ + 2³ + ...) était égal au carré de cette somme ((1 + 2 + ...)²).

Vous me direz alors : " Très bien, mais où veut-il en venir ? "

Je me demandais tout simplement s'il existait une formule du même type afin de calculer la somme des n cubes à partir d'un k quelconque et non pas forcément 0 ou 1.

Merci d'avance de l'aide que vous apporterez à ma quête du savoir.

Cidrolin · April 2019

On trouve : 86304

moduloP · April 2019

Salut

$$
\sum_{i=n+1}^m i^3 = \sum_{i=0}^m i^3 - \sum_{i=0} ^{n} i^3 = \Big(\frac{m(m+1)}{2} - \frac{n(n+1)}{2} \Big) \times \Big( \frac{m(m-+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} \Big)
$$

Math Coss · April 2019

Bon prétexte pour signaler ou rappeler cette preuve sans mots du fait que la somme des premiers cubes est le carré de la somme des premiers entiers.

(Quelques mots quand même... Sur cette figure, vous voyez un carré de côté $1$, deux carrés de côté $2$, trois carrés de côté $3$, etc. jusqu'à sept carrés de côté $7$. Pour chaque dimension impaire, deux carrés se chevauchent sur le quart de leur surface (gris foncé) et laissent apparaître un trou de la même surface (en blanc). L'aire du grand carré est donc la somme des cubes. D'autre part, c'est le carré de la somme des entiers.)

Niaston · April 2019

Je vous remercie pour vos réponses, je note tout cela et vous retrouve pour une prochaine question.

Somme des n premiers cubes

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