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Sous-espace vectoriel

Envoyé par Suzanne35 
Sous-espace vectoriel
l’an passé
Bonsoir, je me demandais comment décrire le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs (1,1,1), (1,-1,-1) et (1,3,3).
Il me semble qu'il définit une base de R3, l'espace total ?...
Merci d'avance pour votre aide.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Sous espace vectoriel
l’an passé
Bonjour,

Les trois vecteurs vérifient $y=z$, donc ils ne peuvent pas engendrer un vecteur qui ne satisfait pas cette équation.
Re: Sous espace vectoriel
l’an passé
Merci, le sev engendré par ces vecteurs est alors la droite d'équation y=z?
Re: Sous espace vectoriel
l’an passé
1) S'il n'y a qu'une équation dans $\R^3$, ça n'est sans doute pas une droite.
2) Peut-être, mais pour l'instant, on a simplement remarqué que le $vect(u,v,w)$ est $\subset$ dans $\{(x,y,z) , y = z\}$. Il nous manque encore l'inclusion réciproque.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par marsup.
Re: Sous espace vectoriel
l’an passé
Je comprends, il s'agit il me semble du plan y=z. Néanmoins, je ne vois pas vraiment comment procéder à la seconde partie de la double inclusion, le x me "gêne".



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Sous espace vectoriel
l’an passé
$\newcommand{\vect}[3]{
\begin{pmatrix}
#1\\ #2\\ #3\\
\end{pmatrix}
}
$Il suffit de deux vecteurs pour engendrer le plan, donc jetons directement le troisième vecteur à la poubelle.

Soit donc $
\vect{x}{y}{z}
$ tel que $y = z$.

Peut-on trouver $a,b\in\R$ tels que $
\vect{x}{y}{z}
=
a \cdot
\vect{1}{1}{1}
+
b \cdot
\vect{1}{-1}{-1}
$ ?
Re: Sous espace vectoriel
l’an passé
Cela est vérifié pour tout a, b réels
Re: Sous espace vectoriel
l’an passé
Sans doute pas, non !
Re: Sous espace vectoriel
l’an passé
Il ne suffit pas que y=z?
Ainsi les deux vecteurs (1,1,1) et (1,-1,-1) seraient deux vecteurs directeurs permettants de définir le plan recherché d'éq y=z ?
Re: Sous espace vectoriel
l’an passé
Mon équation ne marche certainement pas pour tous $a,b\in\R$ !

Sinon, oui ça doit marcher pour tous $x,y=z$, mais encore faudrait-il trouver $a,b$ en fonction de $x,y$.
Re: Sous espace vectoriel
l’an passé
a=(x+y)/2
b=(x-y)/2
Re: Sous espace vectoriel
l’an passé
Bravo, plus qu'à conclure !
Re: Sous espace vectoriel
l’an passé
Le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs (1,1,1), (1,-1,-1) et (1,3,3) décrit un plan qui peut par exemple être caractérisé par les deux vecteurs directeurs suivants : (1,1,1) et (1,-1,-1), on peut alors donner une équation paramétrique du plan..
Cela suffit ?
Merci à vous.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Sous espace vectoriel
l’an passé
J'aimerais que vous me précisiez pourquoi votre équation ne marche pas pour tout a, b réels. J'ai beau réfléchir je ne comprends toujours pas cette condition sur a et b... Merci infiniment pour vos éclairages.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Sous-espace vectoriel
l’an passé
La dernière demande concerne-t-elle l'énoncé actuellement exposé ? Celui avec $z=(1,3,3)\neq y$ ?
Re: Sous-espace vectoriel
l’an passé
Oui, j'essayais d'exposer une solution finale au problème initial exposé dans le premier message. Qu'en est-il ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Sous-espace vectoriel
l’an passé
Je pense donc que comme les trois vecteurs initiaux sont linéairement dépendants ils sont coplanaires et définissent un plan vectoriel.
Re: Sous-espace vectoriel
l’an passé
avatar
Je refais le fil :
-tu proposes d'étudier un sous-espace $E$ de $\R ^3$ engendré par 3 vecteurs
-on te fait remarquer que les 3 vecteurs ne peuvent engendrer tout $\R ^3$
-on te fait de plus remarquer que les 3 vecteurs vérifient $y=z$, donc $E$ est inclus dans l'espace vectoriel $F$ caractérisé par l'équation $y=z$
-marsup te fait montrer l'inclusion inverse, à savoir $F \subset E$
-conclusion $E=F$.


Pour ce qui est de la remarque de marsup, tu avais l'air de dire que prendre n'importe quels $a$ et $b$ rendaient l'égalité vraie, c'est faux, $a$ et $b$ dépendent nécessairement de $x$ et $y$, comme tu l'as vu ensuite.

Pour ce qui est de "caractériser" l'espace $E$, ça dépend de ce que tu veux. Tu peux aussi prendre 2 vecteurs plus "sympas", comme par exemple $(1,0,0)$ et $(0,1,1)$, ou dire que les vecteurs de $E$ sont de la forme $(x,y,y)$...

J'ai l'impression que tu n'es pas certaine de la dimension de $E$...
Re: Sous-espace vectoriel
l’an passé
Merci beaucoup! Tout est limpide à présent.
Pour la dimension de E il me semble que c'est 2 car il s'agit d'un plan?
Re: Sous-espace vectoriel
l’an passé
Il ne sert à rien d'affirmer "$E$ est de dimension $2$ car c'est un plan", puisque c'est la définition d'un plan. C'est comme dire "$2$ est pair car il est pair". Quelle est la définition de la dimension ? Peux-tu vérifier, avec cette définition, que $E$ est de dimension $2$ ?
Re: Sous-espace vectoriel
l’an passé
Je vois, la dimension d'un espace vectoriel correspond au nb de vecteurs nécessaires pour définir une base de cet espace.
Ici il suffit de deux vecteurs pour définir la base de E, la dimension est donc bien 2.
Re: Sous-espace vectoriel
l’an passé
avatar
Essayons d'être (plus) rigoureux (que ça) : si u v et w sont les 3 vecteurs de ton premier message, peux-tu donner UNE base de E, en nous expliquant bien pourquoi il s'agit d'UNE base ?
Re: Sous-espace vectoriel
l’an passé
Tu n'as pas donné de base de $E$. Tu en as simplement donné une partie génératrice, ce qui n'est pas suffisant.
Re: Sous-espace vectoriel
l’an passé
Crapul écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Il suffit du couple de vecteurs non-colinéaires : u(1,1,1) et v(1,-1,-1) pour définir une base de E (la famille constituée par ces deux vecteurs est libre et génératrice).



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Sous-espace vectoriel
l’an passé
avatar
Ca fait plusieurs fois que j'écris/efface un message car je ne sais pas s'il est bon d'insister, de toute façon toutes les réponses sont dans le fil. Essaie peut-être de rédiger ça proprement, on verra s'il y a des corrections à apporter.
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