Sous-espace vectoriel

Bonjour,

Les trois vecteurs vérifient $y=z$, donc ils ne peuvent pas engendrer un vecteur qui ne satisfait pas cette équation.

1) S'il n'y a qu'une équation dans $\R^3$, ça n'est sans doute pas une droite.
2) Peut-être, mais pour l'instant, on a simplement remarqué que le $vect(u,v,w)$ est $\subset$ dans $\{(x,y,z) , y = z\}$. Il nous manque encore l'inclusion réciproque.

$\newcommand{\vect}[3]{
\begin{pmatrix}
#1\\ #2\\ #3\\
\end{pmatrix}
}
$Il suffit de deux vecteurs pour engendrer le plan, donc jetons directement le troisième vecteur à la poubelle.

Soit donc $
\vect{x}{y}{z}
$ tel que $y = z$.

Peut-on trouver $a,b\in\R$ tels que $
\vect{x}{y}{z}
=
a \cdot
\vect{1}{1}{1}
+
b \cdot
\vect{1}{-1}{-1}
$ ?

Sans doute pas, non !

Mon équation ne marche certainement pas pour tous $a,b\in\R$ !

Sinon, oui ça doit marcher pour tous $x,y=z$, mais encore faudrait-il trouver $a,b$ en fonction de $x,y$.

Bravo, plus qu'à conclure !

Je refais le fil :
-tu proposes d'étudier un sous-espace $E$ de $\R ^3$ engendré par 3 vecteurs
-on te fait remarquer que les 3 vecteurs ne peuvent engendrer tout $\R ^3$
-on te fait de plus remarquer que les 3 vecteurs vérifient $y=z$, donc $E$ est inclus dans l'espace vectoriel $F$ caractérisé par l'équation $y=z$
-marsup te fait montrer l'inclusion inverse, à savoir $F \subset E$
-conclusion $E=F$.


Pour ce qui est de la remarque de marsup, tu avais l'air de dire que prendre n'importe quels $a$ et $b$ rendaient l'égalité vraie, c'est faux, $a$ et $b$ dépendent nécessairement de $x$ et $y$, comme tu l'as vu ensuite.

Pour ce qui est de "caractériser" l'espace $E$, ça dépend de ce que tu veux. Tu peux aussi prendre 2 vecteurs plus "sympas", comme par exemple $(1,0,0)$ et $(0,1,1)$, ou dire que les vecteurs de $E$ sont de la forme $(x,y,y)$...

J'ai l'impression que tu n'es pas certaine de la dimension de $E$...

Il ne sert à rien d'affirmer "$E$ est de dimension $2$ car c'est un plan", puisque c'est la définition d'un plan. C'est comme dire "$2$ est pair car il est pair". Quelle est la définition de la dimension ? Peux-tu vérifier, avec cette définition, que $E$ est de dimension $2$ ?

Essayons d'être (plus) rigoureux (que ça) : si u v et w sont les 3 vecteurs de ton premier message, peux-tu donner UNE base de E, en nous expliquant bien pourquoi il s'agit d'UNE base ?