Bonsoir, je me demandais comment décrire le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs (1,1,1), (1,-1,-1) et (1,3,3).
Il me semble qu'il définit une base de R3, l'espace total ?...
Merci d'avance pour votre aide.
1) S'il n'y a qu'une équation dans $\R^3$, ça n'est sans doute pas une droite.
2) Peut-être, mais pour l'instant, on a simplement remarqué que le $vect(u,v,w)$ est $\subset$ dans $\{(x,y,z) , y = z\}$. Il nous manque encore l'inclusion réciproque.
Je comprends, il s'agit il me semble du plan y=z. Néanmoins, je ne vois pas vraiment comment procéder à la seconde partie de la double inclusion, le x me "gêne".
$\newcommand{\vect}[3]{
\begin{pmatrix}
#1\\ #2\\ #3\\
\end{pmatrix}
}
$Il suffit de deux vecteurs pour engendrer le plan, donc jetons directement le troisième vecteur à la poubelle.
Soit donc $
\vect{x}{y}{z}
$ tel que $y = z$.
Peut-on trouver $a,b\in\R$ tels que $
\vect{x}{y}{z}
=
a \cdot
\vect{1}{1}{1}
+
b \cdot
\vect{1}{-1}{-1}
$ ?
Il ne suffit pas que y=z?
Ainsi les deux vecteurs (1,1,1) et (1,-1,-1) seraient deux vecteurs directeurs permettants de définir le plan recherché d'éq y=z ?
Le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs (1,1,1), (1,-1,-1) et (1,3,3) décrit un plan qui peut par exemple être caractérisé par les deux vecteurs directeurs suivants : (1,1,1) et (1,-1,-1), on peut alors donner une équation paramétrique du plan..
Cela suffit ?
Merci à vous.
J'aimerais que vous me précisiez pourquoi votre équation ne marche pas pour tout a, b réels. J'ai beau réfléchir je ne comprends toujours pas cette condition sur a et b... Merci infiniment pour vos éclairages.
Je refais le fil :
-tu proposes d'étudier un sous-espace $E$ de $\R ^3$ engendré par 3 vecteurs
-on te fait remarquer que les 3 vecteurs ne peuvent engendrer tout $\R ^3$
-on te fait de plus remarquer que les 3 vecteurs vérifient $y=z$, donc $E$ est inclus dans l'espace vectoriel $F$ caractérisé par l'équation $y=z$
-marsup te fait montrer l'inclusion inverse, à savoir $F \subset E$
-conclusion $E=F$.
Pour ce qui est de la remarque de marsup, tu avais l'air de dire que prendre n'importe quels $a$ et $b$ rendaient l'égalité vraie, c'est faux, $a$ et $b$ dépendent nécessairement de $x$ et $y$, comme tu l'as vu ensuite.
Pour ce qui est de "caractériser" l'espace $E$, ça dépend de ce que tu veux. Tu peux aussi prendre 2 vecteurs plus "sympas", comme par exemple $(1,0,0)$ et $(0,1,1)$, ou dire que les vecteurs de $E$ sont de la forme $(x,y,y)$...
J'ai l'impression que tu n'es pas certaine de la dimension de $E$...
Il ne sert à rien d'affirmer "$E$ est de dimension $2$ car c'est un plan", puisque c'est la définition d'un plan. C'est comme dire "$2$ est pair car il est pair". Quelle est la définition de la dimension ? Peux-tu vérifier, avec cette définition, que $E$ est de dimension $2$ ?
Je vois, la dimension d'un espace vectoriel correspond au nb de vecteurs nécessaires pour définir une base de cet espace.
Ici il suffit de deux vecteurs pour définir la base de E, la dimension est donc bien 2.
Essayons d'être (plus) rigoureux (que ça) : si u v et w sont les 3 vecteurs de ton premier message, peux-tu donner UNE base de E, en nous expliquant bien pourquoi il s'agit d'UNE base ?
Crapul écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1805188,1805598#msg-1805598
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Il suffit du couple de vecteurs non-colinéaires : u(1,1,1) et v(1,-1,-1) pour définir une base de E (la famille constituée par ces deux vecteurs est libre et génératrice).
Ca fait plusieurs fois que j'écris/efface un message car je ne sais pas s'il est bon d'insister, de toute façon toutes les réponses sont dans le fil. Essaie peut-être de rédiger ça proprement, on verra s'il y a des corrections à apporter.
Réponses
Les trois vecteurs vérifient $y=z$, donc ils ne peuvent pas engendrer un vecteur qui ne satisfait pas cette équation.
2) Peut-être, mais pour l'instant, on a simplement remarqué que le $vect(u,v,w)$ est $\subset$ dans $\{(x,y,z) , y = z\}$. Il nous manque encore l'inclusion réciproque.
\begin{pmatrix}
#1\\ #2\\ #3\\
\end{pmatrix}
}
$Il suffit de deux vecteurs pour engendrer le plan, donc jetons directement le troisième vecteur à la poubelle.
Soit donc $
\vect{x}{y}{z}
$ tel que $y = z$.
Peut-on trouver $a,b\in\R$ tels que $
\vect{x}{y}{z}
=
a \cdot
\vect{1}{1}{1}
+
b \cdot
\vect{1}{-1}{-1}
$ ?
Ainsi les deux vecteurs (1,1,1) et (1,-1,-1) seraient deux vecteurs directeurs permettants de définir le plan recherché d'éq y=z ?
Sinon, oui ça doit marcher pour tous $x,y=z$, mais encore faudrait-il trouver $a,b$ en fonction de $x,y$.
b=(x-y)/2
Cela suffit ?
Merci à vous.
-tu proposes d'étudier un sous-espace $E$ de $\R ^3$ engendré par 3 vecteurs
-on te fait remarquer que les 3 vecteurs ne peuvent engendrer tout $\R ^3$
-on te fait de plus remarquer que les 3 vecteurs vérifient $y=z$, donc $E$ est inclus dans l'espace vectoriel $F$ caractérisé par l'équation $y=z$
-marsup te fait montrer l'inclusion inverse, à savoir $F \subset E$
-conclusion $E=F$.
Pour ce qui est de la remarque de marsup, tu avais l'air de dire que prendre n'importe quels $a$ et $b$ rendaient l'égalité vraie, c'est faux, $a$ et $b$ dépendent nécessairement de $x$ et $y$, comme tu l'as vu ensuite.
Pour ce qui est de "caractériser" l'espace $E$, ça dépend de ce que tu veux. Tu peux aussi prendre 2 vecteurs plus "sympas", comme par exemple $(1,0,0)$ et $(0,1,1)$, ou dire que les vecteurs de $E$ sont de la forme $(x,y,y)$...
J'ai l'impression que tu n'es pas certaine de la dimension de $E$...
Pour la dimension de E il me semble que c'est 2 car il s'agit d'un plan?
Ici il suffit de deux vecteurs pour définir la base de E, la dimension est donc bien 2.
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Il suffit du couple de vecteurs non-colinéaires : u(1,1,1) et v(1,-1,-1) pour définir une base de E (la famille constituée par ces deux vecteurs est libre et génératrice).