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Inverser une matrice tridiagonale

Envoyé par Pablo_de_retour 
Inverser une matrice tridiagonale
l’an passé
avatar
Bonjour à tous
J'aimerais savoir s'il existe une manière simple de calculer l'inverse de la matrice suivante. $$
A = \begin{pmatrix} a & b & 0 & 0 \\ c & a & b & 0 \\ 0 & c & a & b \\ 0 & 0 & c & a \end{pmatrix} ,
$$ avec : $ a,b,c \neq 0 $.
La matrice $ A $ porte le nom : Matrice de Toeplitz tridiagonale.

Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Inverser une matrice tridiagonale
l’an passé
Bonjour,

Peut-être avec le polynôme caractéristique:
$P(x)=x^4 -4ax^3 + 3(2a^2 - bc)x^2 + 2a(- 2a^2 + 3bc)x + (a^4 - 3a^2bc + b^2c^2)$

Cordialement,

Rescassol
Re: Inverser une matrice tridiagonale
l’an passé
Bonsoir,

Pablo, j'aurais cru que tu connaissais Cayley-Hamilton.
Voilà un exemple que tu n'as qu'à adapter:
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$
Son polynôme caractéristique est $P(x)=x^3 - 5x^2 - 11x - 4$
Donc, on a $A^3 - 5A^2 - 11A - 4I = 0$ où $I$ est la matrice identité.
Puis $A^3 - 5A^2 - 11A = 4I$
$A(A^2 -5A -11I) = 4I$
Et donc $A^{-1}=\dfrac{1}{4}(A^2 -5A -11I)$

Cordialement,

Rescassol
Re: Inverser une matrice tridiagonale
l’an passé
avatar
Merci beaucoup Rescassol. Je connais Cayley Hamilton. Oui. smiling smiley
Re: Inverser une matrice tridiagonale
l’an passé
Bonsoir,

Bon, je te donne finalement ta matrice inverse:

$A^{-1}=\dfrac{1}{a^4 - 3a^2bc + b^2c^2}\begin{pmatrix} a(a^2 - 2bc) & -b(a^2 - bc) & ab^2 & -b^3\\ -c( a^2 - bc)& a(a^2 - bc) & -a^2b & ab^2\\ ac^2 & -a^2c & a(a^2 - bc) &- b(a^2 - bc)\\ -c^3 & ac^2 & -c( a^2 - bc) & a(a^2 - 2bc)\end{pmatrix}$

Cordialement,

Rescassol



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