Extension engendrée

Gentil
Gentil
dans Algèbre
Salut à tous.

Soit $K \subset L$ une extension.
Je note $K[\alpha]$ l'anneau engendré par $K$ et $\alpha$. Et $K(\alpha)$ le corps engendré par $K$ et $\alpha$.
Je cherche un exemple d'inclusion stricte : $K[\alpha] \subset K(\alpha)$.

Je vous souhaite une bonne journée.

Réponses

  • viko
    viko
    Bonjour,

    On peut regarder ce qu'il se passe quand $\alpha$ n'est pas algébrique sur $K$
  • gai requin
    gai requin
    Prends $\alpha$ transcendant sur $K$.
  • Gentil
    Gentil
    Très bien, je vous remercie.
  • Poirot
    Poirot
    À quoi sert le $L$ dans cette histoire ? :-D
  • MrJ
    MrJ
    L’anneau des polynômes réels est strictement inclus dans l’anneau des fractions rationnelles réelles.
  • Poirot
    Poirot
    @MrJ : c'est essentiellement l'argument donné au-dessus.
  • MrJ
    MrJ
    Oui je sais, mais je l’ai donné quand même, car il est compréhensible avec un minimum de connaissance.
  • Gentil
    Gentil
    $L$ sert car $\alpha \in L$ d'ailleurs d'où le fait que je ne comprends pas l'exemple de $R[X]$ à quoi appartient $X$ ?
  • viko
    viko
    En fait on a $\mathbb{R}[X] = \mathbb{R}^{(\mathbb{N})}$ (l'ensemble des suites réelles presque nulle) et $X = (0,1,0,.....)$ on peut donc voir $\mathbb{R}[X]$ comme la $\mathbb{R}$-algèbre engendrée par la suite $X = (0,1,0,.....)$ dans le corps $\mathbb{R}(X)$ vu comme corps des fractions de l'anneau intègre $\mathbb{R}[X]$
  • Gentil
    Gentil
    Et bien merci viko c'est très clair.

    Je vous souhaite une agréable samedi.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 33

BibixCidrolinMatricule_63Médiat_SuprèmePaul Broussousbiguine_equationbisami.zitoussimanupldx1raoul.Szeste +21 Invités