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Extension engendrée

Envoyé par Gentil 
Extension engendrée
il y a huit mois
Salut à tous.

Soit $K \subset L$ une extension.
Je note $K[\alpha]$ l'anneau engendré par $K$ et $\alpha$. Et $K(\alpha)$ le corps engendré par $K$ et $\alpha$.
Je cherche un exemple d'inclusion stricte : $K[\alpha] \subset K(\alpha)$.

Je vous souhaite une bonne journée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Extension engendrée.
il y a huit mois
avatar
Bonjour,

On peut regarder ce qu'il se passe quand $\alpha$ n'est pas algébrique sur $K$
Re: Extension engendrée.
il y a huit mois
Prends $\alpha$ transcendant sur $K$.
Re: Extension engendrée.
il y a huit mois
Très bien, je vous remercie.
Re: Extension engendrée.
il y a huit mois
À quoi sert le $L$ dans cette histoire ? grinning smiley
MrJ
Re: Extension engendrée.
il y a huit mois
L’anneau des polynômes réels est strictement inclus dans l’anneau des fractions rationnelles réelles.
Re: Extension engendrée.
il y a huit mois
@MrJ : c'est essentiellement l'argument donné au-dessus.
MrJ
Re: Extension engendrée.
il y a huit mois
Oui je sais, mais je l’ai donné quand même, car il est compréhensible avec un minimum de connaissance.
Re: Extension engendrée.
il y a huit mois
$L$ sert car $\alpha \in L$ d'ailleurs d'où le fait que je ne comprends pas l'exemple de $R[X]$ à quoi appartient $X$ ?
Re: Extension engendrée
il y a huit mois
avatar
En fait on a $\mathbb{R}[X] = \mathbb{R}^{(\mathbb{N})}$ (l'ensemble des suites réelles presque nulle) et $X = (0,1,0,.....)$ on peut donc voir $\mathbb{R}[X]$ comme la $\mathbb{R}$-algèbre engendrée par la suite $X = (0,1,0,.....)$ dans le corps $\mathbb{R}(X)$ vu comme corps des fractions de l'anneau intègre $\mathbb{R}[X]$
Re: Extension engendrée
il y a huit mois
Et bien merci viko c'est très clair.

Je vous souhaite une agréable samedi.
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