Équation algébrique du troisième degré

Bonjour à tous
Pouvez-vous s'il vous plaît me dire comment calculer les racines de l'équation suivante à l'aide de la méthode de Cardan, ou bien en utilisant Wolfram : [www.wolframalpha.com] ? :
Voici l'équation : $$
x^3 + 3 \Big( \frac{ -1 + \sqrt{5} }{2} \Big) x^2 + 2x + \Big( \frac{ -5 + 3 \sqrt{5} }{2} \Big) = 0 .

$$ Merci infiniment.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.

Bonsoir pablo,

Peux-tu nous dire à quelle étape exactement de la méthode décrite ici : [fr.wikipedia.org]

tu es coincé ?

Bonsoir,

il suffit de multiplier par $x^2$ comme ça tu obtiens une équation de degré 5 que tu sais comment résoudre. Il suffit ensuite de prendre les solutions non nulles.

Bonsoir marsup :
Bonsoir Lupulus :
J'ai réussi à mettre l'équation de départ sous la forme : $ z^3 + pz + q = 0 $. J'ai obtenu :
$$ \big( x + \dfrac{ - 1 + \sqrt{5} }{2} \big)^3 + \dfrac{ -5 + 3 \sqrt{5} }{2} \big( x + \dfrac{ - 1 + \sqrt{5} }{2} \big) + \dfrac{ -11 + 5 \sqrt{5} }{2} = 0 $$
Mais, je ne sais pas poursuivre.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Pablo_de_retour.

Eh bien tu poses $t = x - \text{bidule}$ et tu continues !

Courage, que diable !

Comment obtenir les racines de l'équation réduite obtenue, qui suit :
$$ z^3 + \dfrac{ -5 + 3 \sqrt{5} }{2} z + \dfrac{ -11 + 5 \sqrt{5} }{2} = 0 $$
à l'aide de Wolfram ?
Merci d'avance.

Pas besoin de Wolfram !

Crois-tu que Jérôme Cardan (Gerolamo Cardano 1501-1576 prend TOUJOURS une majuscule - AD) avait Wolfram sur son macbook ?!

Bonsoir,

Pablo, pourrais tu avoir la politesse de me dire si mon indication t'a été utile ?

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir Rescassol :
Merci de ta réponse dans l'autre fil.
Ce n'est pas que je n'ai pas voulu te répondre Rescassol, mais j'ai eu peur de te répondre en craignant recevoir un coup de massue clouté sur ma tête de ta part, car je n'ai pas réussi à voir où je peux utiliser ton polynôme caractéristique afin de résoudre le problème.

marsup :
J'ai trouvé le discriminant égale à : $ \Delta = \dfrac{ - 1171 + 1125 \sqrt{5} }{2} > 0 $. Que faire ensuite ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Pablo_de_retour.

Bonsoir,

Pablo, je t'ai donné un exemple dans l'autre fil.

Cordialement,

Rescassol

J'essayerai de te répondre sur l'autre fil si j'ai des choses à dire Rescassol.
S'il vous plaît :
On sait par la méthode de Raphael Bombelli ( Voir ici : [fr.wikipedia.org] ), que :
$ u^3 = 2 + i 11 $ implique que : $ u = 2 + i $
est ce qu'on peut trouver $ u $ de la forme $ a + b \sqrt{5} $ tel que : $ u^3 = \dfrac{1}{54} ( 2521 - 1125 \sqrt{5} ) $ implique que : $ u = a + b \sqrt{5} $ ?
Merci d'avance.

Pablo:

On n'a besoin de personne pour résoudre:

$x^3=a$ , $a$ un nombre complexe.

Une telle équation admet trois solutions si $a$ est non nul.

Donc $x^3=a$ n'implique pas que $x=c$ avec $c$ un nombre complexe donné.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Fin de partie.

ça y est merci, j'ai résolu mon problème.
Merci à tous de m'avoir répondu.

edit : croisement avec le message de FdP.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Pablo_de_retour.

Pablo:

Il a fallu que tu consultes combien de pages Wikipedia avant de trouver celle qui décrit la solution que tu cherchais?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)

On apprenait en Terminale à résoudre les équations $X^n=a$ et maintenant on doit apprendre ça en première année de licence de mathématiques.

Si $a$ est non nul, $n$ est non nul, si $z_1,z_2$ sont deux solutions de l'équation $Z^n=a$

On a $\frac{z_1^n}{z_2^n}=1$ C'est à dire que deux solutions de cette équation ne diffèrent que d'un facteur qui est solution de l'équation $z^n=1$ autrement dit, si on a une solution de l'équation $Z^n=a$ on obtient les $n-1$ autres solutions en multipliant cette solution particulière par successivement toutes les $n-1$ racines de l'équation $Z^n=1$.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Fin de partie.

FdP :

Demain Matin, si Dieu veut. rendez vous dans la section Shtam. Je te donnerai ''une'' racine de l'équation : $x^5 - x - 1=0$, à l'aide des radicaux. Mais, je ne te montrerai pas comment je l'ai trouvé



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Poirot.

Pablo:

Tu ne savais pas résoudre, il y a encore cinq minutes, une équation simplissime comme $x^n=a$ et maintenant tu es reparti dans tes fantasmes.

PS:
Si dieu existe demande lui plutôt qu'il te donne la volonté d'étudier sérieusement.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Fin de partie.

Non, je sais résoudre $ z^n = a $. arrête ce genre de blagues. J'ai un cours pdf devant moi niveau terminale, et je vois très bien comment on résout ce genre d'équations.

Pablo:

Avoir un cours ouvert devant soi et maîtriser ce qu'il contient sont deux choses différentes.

C'est toi qui a posté ce message:
[www.les-mathematiques.net]

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)

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