Exactitude du produit tensoriel
Sur demande de Claude, je fais un premier post (j'en ferai d'autres sur les extensions de Kan et ensembles simpliciaux si ça lui plait) sur l'exactitude à droite du produit tensoriel.
Je fixe un anneau (commutatif, unitaire pour ne pas avoir à réfléchir, mais a priori tout ce que je vais dire peut se faire dans le cadre non commutatif en adaptant soigneusement) $R$ et un $R$-module $M$; $\otimes$ est à comprendre au-dessus de $R$. Le résultat qui nous intéresse est : si $0\to A\to B \to C\to 0$ est exacte, alors $A\otimes M\to B\otimes M\to C\otimes M\to 0$ est exacte.
Ce que je dis c'est que ça découle de l'isomorphisme canonique $\hom(N\otimes M, L)\simeq \hom(N,\hom(M,L))$. Plus précisément, de l'isomorphisme naturel.
Donc l'énoncé plus général que je vais donner c'est : soit $F$ un foncteur additif $R-\mathbf{Mod}\to R-\mathbf{Mod}$ qui est un adjoint à gauche (i.e. j'ai un foncteur $G:R-\mathbf{Mod}\to R-\mathbf{Mod}$ et des isomorphismes naturels $\hom(FN,L)\simeq \hom(N,GL)$). Alors $F$ est exact à droite.
Quelques remarques préliminaires :
(1) Je mets $R-\mathbf{Mod}$ mais en réalité c'est valable pour n'importe quelle catégorie abélienne.
(2) Ici tout est à prendre au sens enrichi : $\hom(N,L)$ est un groupe abélien, et on demande que l'isomorphisme naturel en question soit un isomorphisme de foncteurs en groupes abéliens
(3) L'exactitude en $C\otimes M$ de notre suite peut nous laisser perplexe parce qu'elle est évidente sans catégories de quelque genre que ce soit et on se dit "pourquoi parler d'adjoints, c'est idiot". En effet cette exactitude c'est juste la surjectivité de $B\otimes M\to C\otimes M$ et ça on sait bien que si $B\to C$ est surjective, on l'a, en étudiant les tenseurs purs. Mais l'exactitude en $B\otimes M$ est plus subtile, et je ne connaisse pas de preuve élégante qui n'est pas essentiellement la preuve que je vais fournir. D'ailleurs, le fait que $\otimes M$ préserve les applications surjectives peut aussi être incriminé au fait qu'il est adjoint à gauche puisque ces derniers préservent les épimorphismes.
(4) On peut se demander quel est l'intérêt de cette généralisation à une catégorie abélienne quelconque. Bah ça il faut demander aux géomètres pourquoi les faisceaux de $O_X$-modules les intéressent, mais je sais que la catégorie des faisceaux de $O_X$-modules est abélienne et donc je peux lui appliquer toute cette machinerie sans avoir à y réfléchir.
Bon, ceci ayant été dit, la preuve en elle-même. Elle commence par un petit lemme d'algèbre homologique :
Soit $A\to B\to C\to 0$ un complexe de $R$-modules (i.e. les composées valent $0$). Alors c'est une suite exacte si et seulement si pour tout $N$, $0\to \hom(C,N)\to \hom(B,N)\to \hom(A,N)$ est exacte.
Preuve : Bon déjà si la suite est exacte alors l'injectivité de $\hom(C,N)\to \hom(B,N)$ pour tout $N$ peut même être vue comme définition de $B\to C\to 0$ est exacte, mais enfin bon c'est l'argument classique, je ne le fais pas.
Maintenant si $f:B\to N$ devient $0$ dans $A\to N$ c'est que $f$ s'annule sur $\mathrm{im}(A)$ donc par propriété universelle du quotient $f$ se factorise par $B/\mathrm{im}(A)\simeq C$ ce qui nous dit précisément que $f$ est dans l'image de $\hom(C,N)$ et donc on a bien exactitude.
Réciproquement, supposons la suite des $\hom$ exacte pour tout $N$. L'exactitude en $\hom(C,N)$ pour tout $N$ nous dit que $B\to C$ est surjective hein, comme je l'ai expliqué avant. Maintenant je prends $N=B/\mathrm{im}(A)$ et $p:B\to N$ la projection canonique. Alors clairement $p$ devient $0$ dans $\hom(A,N)$, donc par exactitude $p$ provient de $\hom(C,N)$, i.e. il existe $g:C\to B/\mathrm{im}A$ telle que $g\circ q = p$ (où $q:B\to C$ est l'application qu'on considère depuis le début). Supposons donc que $q(b)= 0$; alors $p(b)=g\circ q(b) = 0$ et donc $b\in \mathrm{im}(A)$, on a l'exactitude en $B$, et on a fini.
Ce raisonnement se généralise à une catégorie abélienne quelconque sans trop de souci une fois qu'on est habitué.
Bon. Maintenant on a notre adjoint $F$ et notre suite exacte $0\to A\to B\to C\to 0$. Par le lemme d'avant, $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$ est exacte si et seulement si $0\to \hom(F(C),N)\to \hom(F(B),N)\to \hom(F(A),N)$ l'est pour tout $N$. Mais l'adjonction nous dit que cette suite là est isomorphe à $0\to \hom(C,G(N))\to \hom(B,G(N))\to \hom(A,G(N))$, qui, elle, est exacte au vu de l'hypothèse sur la suite initiale et par l'implication facile du lemme. Donc notre suite initiale est exacte aussi, et donc par l'implication "moins facile" du lemme, $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$ est exacte.
On applique ça à $F=-\otimes M$ et on a gagné.
Evidemment, si j'avais tout prouvé dans une catégorie abélienne quelconque, comme l'opposé d'une catégorie abélienne est abélienne, par dualité on aurait automatiquement gagné "un adjoint à droite est exact à gauche". Vu que je ne l'ai pas fait, on est ici forcé de faire une autre preuve (qui sera exactement la même hein) pour obtenir ce résultat.
N'hésitez pas à poser des questions; en particulier s'il y a des trucs pas clairs (j'ai pas écrit les noms de toutes les applications par exemple, j'espère que ça ne bloquera pas la lecture)
Je fixe un anneau (commutatif, unitaire pour ne pas avoir à réfléchir, mais a priori tout ce que je vais dire peut se faire dans le cadre non commutatif en adaptant soigneusement) $R$ et un $R$-module $M$; $\otimes$ est à comprendre au-dessus de $R$. Le résultat qui nous intéresse est : si $0\to A\to B \to C\to 0$ est exacte, alors $A\otimes M\to B\otimes M\to C\otimes M\to 0$ est exacte.
Ce que je dis c'est que ça découle de l'isomorphisme canonique $\hom(N\otimes M, L)\simeq \hom(N,\hom(M,L))$. Plus précisément, de l'isomorphisme naturel.
Donc l'énoncé plus général que je vais donner c'est : soit $F$ un foncteur additif $R-\mathbf{Mod}\to R-\mathbf{Mod}$ qui est un adjoint à gauche (i.e. j'ai un foncteur $G:R-\mathbf{Mod}\to R-\mathbf{Mod}$ et des isomorphismes naturels $\hom(FN,L)\simeq \hom(N,GL)$). Alors $F$ est exact à droite.
Quelques remarques préliminaires :
(1) Je mets $R-\mathbf{Mod}$ mais en réalité c'est valable pour n'importe quelle catégorie abélienne.
(2) Ici tout est à prendre au sens enrichi : $\hom(N,L)$ est un groupe abélien, et on demande que l'isomorphisme naturel en question soit un isomorphisme de foncteurs en groupes abéliens
(3) L'exactitude en $C\otimes M$ de notre suite peut nous laisser perplexe parce qu'elle est évidente sans catégories de quelque genre que ce soit et on se dit "pourquoi parler d'adjoints, c'est idiot". En effet cette exactitude c'est juste la surjectivité de $B\otimes M\to C\otimes M$ et ça on sait bien que si $B\to C$ est surjective, on l'a, en étudiant les tenseurs purs. Mais l'exactitude en $B\otimes M$ est plus subtile, et je ne connaisse pas de preuve élégante qui n'est pas essentiellement la preuve que je vais fournir. D'ailleurs, le fait que $\otimes M$ préserve les applications surjectives peut aussi être incriminé au fait qu'il est adjoint à gauche puisque ces derniers préservent les épimorphismes.
(4) On peut se demander quel est l'intérêt de cette généralisation à une catégorie abélienne quelconque. Bah ça il faut demander aux géomètres pourquoi les faisceaux de $O_X$-modules les intéressent, mais je sais que la catégorie des faisceaux de $O_X$-modules est abélienne et donc je peux lui appliquer toute cette machinerie sans avoir à y réfléchir.
Bon, ceci ayant été dit, la preuve en elle-même. Elle commence par un petit lemme d'algèbre homologique :
Soit $A\to B\to C\to 0$ un complexe de $R$-modules (i.e. les composées valent $0$). Alors c'est une suite exacte si et seulement si pour tout $N$, $0\to \hom(C,N)\to \hom(B,N)\to \hom(A,N)$ est exacte.
Preuve : Bon déjà si la suite est exacte alors l'injectivité de $\hom(C,N)\to \hom(B,N)$ pour tout $N$ peut même être vue comme définition de $B\to C\to 0$ est exacte, mais enfin bon c'est l'argument classique, je ne le fais pas.
Maintenant si $f:B\to N$ devient $0$ dans $A\to N$ c'est que $f$ s'annule sur $\mathrm{im}(A)$ donc par propriété universelle du quotient $f$ se factorise par $B/\mathrm{im}(A)\simeq C$ ce qui nous dit précisément que $f$ est dans l'image de $\hom(C,N)$ et donc on a bien exactitude.
Réciproquement, supposons la suite des $\hom$ exacte pour tout $N$. L'exactitude en $\hom(C,N)$ pour tout $N$ nous dit que $B\to C$ est surjective hein, comme je l'ai expliqué avant. Maintenant je prends $N=B/\mathrm{im}(A)$ et $p:B\to N$ la projection canonique. Alors clairement $p$ devient $0$ dans $\hom(A,N)$, donc par exactitude $p$ provient de $\hom(C,N)$, i.e. il existe $g:C\to B/\mathrm{im}A$ telle que $g\circ q = p$ (où $q:B\to C$ est l'application qu'on considère depuis le début). Supposons donc que $q(b)= 0$; alors $p(b)=g\circ q(b) = 0$ et donc $b\in \mathrm{im}(A)$, on a l'exactitude en $B$, et on a fini.
Ce raisonnement se généralise à une catégorie abélienne quelconque sans trop de souci une fois qu'on est habitué.
Bon. Maintenant on a notre adjoint $F$ et notre suite exacte $0\to A\to B\to C\to 0$. Par le lemme d'avant, $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$ est exacte si et seulement si $0\to \hom(F(C),N)\to \hom(F(B),N)\to \hom(F(A),N)$ l'est pour tout $N$. Mais l'adjonction nous dit que cette suite là est isomorphe à $0\to \hom(C,G(N))\to \hom(B,G(N))\to \hom(A,G(N))$, qui, elle, est exacte au vu de l'hypothèse sur la suite initiale et par l'implication facile du lemme. Donc notre suite initiale est exacte aussi, et donc par l'implication "moins facile" du lemme, $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$ est exacte.
On applique ça à $F=-\otimes M$ et on a gagné.
Evidemment, si j'avais tout prouvé dans une catégorie abélienne quelconque, comme l'opposé d'une catégorie abélienne est abélienne, par dualité on aurait automatiquement gagné "un adjoint à droite est exact à gauche". Vu que je ne l'ai pas fait, on est ici forcé de faire une autre preuve (qui sera exactement la même hein) pour obtenir ce résultat.
N'hésitez pas à poser des questions; en particulier s'il y a des trucs pas clairs (j'ai pas écrit les noms de toutes les applications par exemple, j'espère que ça ne bloquera pas la lecture)
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Réponses
Et donc on récupère sans effort le résultat analogue pour des faisceaux de modules.
Première question (sans avoir tout lu de manière attentive) : pourquoi, à la ligne 5, avoir mentionné $0 \to A \to B \to C \to 0$ au lieu de $A \to B \to C \to 0$ ?
Preuve améliorée : $A\to B\to C\to 0$ est exacte si et seulement si $\mathrm{colim}(A\rightrightarrows \to C$ est un isomorphisme, donc si elle est exacte, $F$ étant adjoint à gauche il commute aux colimites et donc $\mathrm{colim}(FA\rightrightarrows FB) \to FC$ est un isomorphisme et donc $FA\to FB\to FC\to 0$ est exacte.
Claude : Par automatisme : la définition générale de foncteur exact (à gauche, à droite, exact tout court) part de $0\to A\to B \to C\to 0$. Effectivement , lorsqu'on est face à un adjoint à gauche (ou à droite) on n'a pas besoin de toute la suite; mais la définition générale est ce qu'elle est parce qu'il y a (eh oui, ça existe) des foncteurs exacts à gauche sans pour autant être adjoints.
1) Ton avant dernier post. En ce qui concerne l'exactitude à droite, je n'ai pas compris ce que tu voulais dire concernant l'histoire de définition $0 \to A \to B \to C \to 0$ versus $A \to B \to C \to 0$. Ainsi, dans Rotman, An Introduction to Homological Algebra, celui ci donne comme définition qu'un foncteur qu'il est exact à droite si .. j'attache. Quid ?
2) Sinon, je suis convaincu. Mais ce que je ne comprends pas : pourquoi parler pendant des heures alors qu'il suffit de FAIRE ?
3) ``Sur demande de Claude'', dis tu : cela pourrait me faire passer pour un gars vachement autoritaire (ou capricieux)
4) En ce qui concerne les ensembles simpliciaux, ce que j'ai toujours trouvé extraordinaire, c'est la définition (fonctorielle) : un foncteur contravariant de la catégorie $\Delta$. Etant petit, la notion d'ensembles simpliciaux n'étaient pas encore arrivée dans les chaumières et je me souviens d'un cours de topologie algébrique où $K(\pi, n)$ était construit à coups de CW-complexes (comme dans Spanier, si je me souviens bien). Cela m'avait fichu la trouille. Par ailleurs, mes premiers contacts avec les ensembles simpliciaux se sont faits avec May, Simplicial objects in Algebraic Topology (pas un marrant, pratiquement aucun exemple). Je me demande bien ce que tu vas pouvoir raconter ``à ma demande'' (?)
Merci.
1) j'imagine que ça dépend des définitions. Après réflexion les deux sont équivalents de toute façon.
2) je ne comprends pas :-S parles-tu de ma conversation avec Christophe ? Si c'est le cas, lui me refuse l'algèbre homologique, la topologie et la géométrie algébriques donc j'ai bien du mal à lui donner des exemples...
3) Désolé je trouverai une meilleure formulation pour les autres posts ;-)
4) Ah oui, et cette définition va me permettre de raconter plein de trucs amusants d'ailleurs, tu verras !
Je comprends que les CW-complexes fassent peur; j'y suis maintenant habitué mais ça m'avait vraiment fait douter de mon goût pour la topologie algébrique initialement
Ton 1), mais c'est bien sûr. J'ai fait cela je ne sais combien de fois avec des résolutions i.e. les couper. Je veux dire qu'en présence de $A \to B \to C \to 0$, fabriquer par noyau
$$
0 \to K \to B \to C \to 0, \qquad \qquad 0 \to K' \to A \to K \to 0
$$
Je pense que c'est en ce sens que tu dis que les deux définitions de foncteur exact à droite sont équivalentes.
Et ``par ta faute'', j'ai ouvert de nouveau Algebra de Lang (il prend la définition via $A \to B \to C \to 0$), relu l'introduction de Rotman de son ouvrage ``An Introduction to Homological Algebra'', j'attache juste la première page, cf ce qu'il dit dans le dernier paragraphe, les notes historiques de Weibel ...etc.. Cela m'a rajeuni car dans l'introduction de Rotman il est question d'anneaux locaux réguliers (c'est de l'algèbre commutative, ah, ah).
Et pendant que j'y pense, j'attache un exercice de Bourbaki (on voit qu'il s'agit du nouveau chap VIII d'Algèbre) avec l'énoncé du théorème de Jacobson (c'est l'exercice 6) mais avec beaucoup plus de précisions que la chute $A$ est un anneau commutatif.
Rajeuni ? Même pas vrai car j'ai vu ton post ``Extensions de Kan''. Ce qui me donne l'impression que je vais courir derrière toi et m'essoufler vite (toi, tu es jeune). N'oublie pas mon grand âge.
Merci pour les documents joints, le Bourbaki est effectivement plus précis avec sa chute (tu devrais -si tu as le temps- jeter un oeil à la preuve de l'ami de Christophe, Anatole, dont on a discuté récemment; qui prouve quelque chose de pas si éloigné si on fait gaffe aux détails. Je ne suis pas sûr qu'on a l'isomorphisme, mais on a certainement que $A$ se plonge dans un tel produit), et le commentaire historique est très intéressant (surtout pour quelqu'un comme moi qui affectionne beaucoup les algèbres homologique et commutative)
Ne t'inquiète pas, je ferai juste un autre post sur les ensembles simpliciaux et je te laisserai souffler ;-) et puis, tu le verras, le post est long mais c'est surtout dû à ma propension à parler entre les maths
M.
(même si je comprends ton ressenti, je voulais savoir si ça existe au-delà de l'enseignement, dans la recherche : dans l'enseignement, c'est assez surprenant, une certaine école du 5è n'a quasiment aucun cours qui parle de catégories)
2) Il est un domaine en maths où les catégories sont à la fois un outils et un objet d'étude naturel, c'est celui des représentations. La catégorie des représentations d'un groupe $G$ dans des $A$-module est très simple quand $G$ est fini (ou compact) et $A$ est un corps de caractéristique $0$ : tout objet et somme directe d'irréductibles (la catégorie est dite semisimple). Mais si $G$ est fini et $A$ n'est plus un corps, ou un corps de mauvaise caractéristique, ou bien si $A$ est un corps (même de caractéristique $0$), mais $G$ n'est pas compact, les choses se compliquent grandement.
1) Pour l'instant comme déjà dit, j'en suis au point mort car il me manque les notions de base (co-limites, catégories complètes, co-complètes, égalisateurs et tout le truc). Je me suis procuré https://math.unice.fr/~cberger/structure1.pdf mais cela ne rentre pas dans ma caboche de vieux à la vitesse V.
Par ailleurs, même si pour l'instant ``je ne comprends pas'' (cela ne veut rien dire et dire le contraire serait pareil) ton texte est agréable à lire grâce au discours à côté des maths (indispensable à mon avis).
2) Un détail technique insignifiant. Neukirch, Algebraic Number Theory, fait un mini-mini-topo sur les représentations. Et p. 521, il pose, en ayant une représentation sur $V$ d'un sous-groupe $H$ d'un $G$ :
$$
\Ind_H^G(V) = \{ f : G \to V \mid f(hx) = hf(x) \quad \forall x \in G, \ \forall h \in H \}
$$
qu'il munit d'une $G$-action $g \cdot f : x \mapsto f(xg)$. Note : l'utilisation de la lettre $x$ est volontaire chez moi.
Question : est ce qu'il n'a pas tort de proposer cette définition ? Je pense que chez lui, $G$ est un groupe fini et je crois comprendre que induit ou co-induit, c'est kif-kif. Mais peut être dangereux. Vois tu ce que je veux dire ?
3) Le fourbi : prudence. Là, je vais faire un hors sujet mais je pense que tu ne m'en voudras pas. Prenons l'énoncé élémentaire de géométrie algébrique suivant : il s'agit de montrer que l'application suivante réalise un plongement de $\P^1_{(u:v)}$ sur la conique fondamentale $\{xz = y^2\}$ de $\P^2_{(x:y:z)}$
$$
\P_1 \ni (u : v) \longmapsto (x = u^2 : y = uv : z = v^2) \in \P^2 \qquad\qquad (\star)
$$
Ma question est sincère : de quoi a-t-on besoin pour montrer cela et dans quel contexte le plus général peut-on le montrer ? Prenons l'approche ``fourbi'''. Attention, ce n'est pas péjoratif et je n'émets aucune critique.
Considérons par exemple https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.ducros/polym2.pdf, Catégories, Algèbre commutative, Schémas, Faisceaux et tutti quanti. L'énoncé arrive à la page 272 en 6.4.8. Faut-il en passer par toutes les pages qui précèdent ? Je ne sais pas si je suis bien clair. Je veux dire par exemple qu'à force de dire on prépare tel truc pour faire de la géométrie algébrique, va-t-on finir par en faire vraiment ? Une fois, j'avais attaché la page ci-dessous (Miles Reid, Undergraduate Algebraic Geometry) pour moduloP mais ce que je voulais signifier n'était probablement pas très clair. C'est peut-être que c'est encore le cas ?
Et je pose la question même si elle est hors-sujet : un jour, prendra-t-on le temps, de s'occuper vraiment du plongement de Veronese $(\star)$ ? Grâce au fourbi que nous avons à notre disposition, la connaissance générale de $\P^n$ (ici $\P^1, \P^2$ suffisent), en n'hésitant pas à consulter https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.ducros/polym2.pdf (qui parle de $\P^n$, je ne sais pas en quel termes, d'ailleurs). Si nous ne le faisons pas et que nous (enfin vous) sommes capables de parler de choses plus générales, n'y-a-t'il pas une légère contradiction dans cette manière de procéder ?
Sorry pour le hors-sujet.
Pourtant en analyse, Saito-Kashiwara-Schapira ont depuis longtemps ouvert la voie, mais il y a un communautarisme mathématique. J'ai eu des rapports comme "all this algebra does not lead anywhere" ou bien des accusations de vouloir noyer le poisson dans l'algèbre sans avoir de démonstration, le plus drôle était celui d'un éditeur qui jugeait que la preuve était devenue trop "simple" pour être publiée dans son journal:-D.
Ceci mis à part (un jour j'écrirai le vrai texte de conseils aux auteurs) le point de vue catégoriel me semble fondamental dans toutes les mathématiques à condition de le rattacher "au concret". Voici ce que nous faisons avec:
https://www.researchgate.net/publication/327591694_KAM_Theory_Part_II_Kolmogorov_spaces
Depuis que je l'ai adopté, je peux simplifier nombre de mes anciennes démonstrations et même les expliquer plus simplement sans les catégories, car je comprends mieux le fonctionnement interne de la machine.
D'ailleurs, à te lire je me demande si l'on peut faire quelque chose concernant la nucléarité. Tu sais peut-être que les produits tensoriels topologiques ne sont exacts ni à gauche ni à droite, sauf pour l'injectif et le projectif. Ce sont des résultats qui ont l'air bête mais qui sont en fait important. Par exemple, il y a un résultat classique et très beau de platitude dû à Douady et Pourcin que nous citons dans le livre. J'aimerai avoir une démonstration dont je puisse être sûr qu'elle est correcte (oui je l'avoue je ne crois pas à la démonstration de "platitude et privilège" de la thèse de Douady en tout cas pas pour l'instant). J'ai vérifié le résultat sur de nombreux exemples délicats pour trouver un contre-exemple mais à chaque fois ça marche.
M.
[C'est fait :-) Poirot]
1) Ok pour les notions de base, effectivement ici il les faut de manière assez drastique
Je suis ravi que le texte soit malgré tout un minimum agréable à lire.
2) Oui, j'avais eu la même définition l'an dernier en TD d'algèbre. La situation que je crois avoir comprise est la suivante : on a ces deux notions d'induction et de co-induction et jusqu'à récemment ce n'était pas clair qui devait s'appeler quoi, et puisqu'effectivement en groupes finis (plus précisément indice fini) les deux sont naturellement isomorphes (cela vient du fait qu'une somme directe finie c'est pareil qu'un produit direct fini dans ces contrées) ça ne posait pas de problème excessif.
Puis depuis quelques années (je n'ai aucune idée de comment quantifier ça) le consensus s'est établi que l'adjoint à gauche (donc le tenseur) c'est l'induction, et celui à droite la co-induction.
Mon interprétation (probablement rien à voir avec comment ça s'est passé - c'est du personnel) c'est que la restriction peut être vu comme un foncteur "d'oubli" (on oublie qu'on avait tout $G$, on ne se souvient que de $H$), et ceux-là on a tendance à leur trouver un adjoint à gauche (l'objet ”libre“) donc c'est celui-ci qui est l'objet “canonique“ et l'autre mérite d'être appelé "co-"le premier, d'où induction et co-induction
3) Ce n'est pas si hors-sujet que ça, et je te remercie pour le nombre de documents que tu prends la peine de joindre; et je comprends parfaitement l'inquiétude (d'ailleurs au vu de l'extrait partagé, elle a déjà été réalisée !)
Je pense que c'est dommage qu'il y ait une telle ostracisation, dans un sens ou dans l'autre. Personnellement j'observe parfois le contraire, où il est difficile de placer le mot "catégorie" sans se faire regarder de travers et effectivement parfois le travers de négliger les choses plus concrètes (mais à l'inverse de l'autre, celui-ci m'a l'air d'être plus souvent pris comme une blague, même si le texte que tu proposes donne un exemple où ce n'en est pas) - et c'est terrible que des personnes en aient souffert. C'est sûrement lié à des questions pécunières en plus (s'il y avait assez de fonds, chacun.e pourrait décider de travailler plus ou moins concrètement et il n'y aurait pas de telle ostracisation d'une manière de travailler par rapport à une autre)
Je trouve aussi dommage de décréter que la recherche en catégories pures est stérile, ce serait comme décréter que celle en théorie des ensembles l'est. Enfin ça c'est une question d'opinion.
Par rapport à ton plongement (Veronese ou Segre, j'ai oublié et je suis sur téléphone donc ne peux pas regarder), il me fait justement penser à un cours que j'ai eu : avant de faire de la géométrie algébrique "abstraite" (schémas, faisceaux etc.) l'université en question proposait un premier cours d'introduction à la géométrie algébrique "à l'ancienne", donc plus concrète, où on étudiat justement des choses telles que ces plongements (Segre et Veronese). Malgré un enseignant exceptionnel, ça ne m'a pas trop plu : je n'ai pas d'intuition géométrique et quand je fais de la géométrie algébrique je m'intéresse plus aux catégories et à l'algèbre (d'ailleurs j'en fais rarement). Tout ça pour dire : il s'agit de goûts et de couleurs, et de manières de travailler, et c'est dommage de négliger l'une ou l'autre manière. L'abstraction permet de généraliser le concret, mais le concret permet parfois (souvent) d'aller plus loin, d'illustrer et d'appliquer notre abstraction
Edit : arg j'ai vu que Claude a fait déplacer son message, est-ce qu'un.e gentil.le modérateurice pourrait déplacer ma réponse aussi ? (Poirot si tu me lis ;-))
[Vous me donnez du boulot aujourd'hui ! :-D Poirot]
Merci Poirot ;-)
Je suis d'accord avec tes commentaires sur le point de vue catégoriel, et sur comment il aide, même si on veut comprendre sans catégories.
D'ailleurs ce que tu racontes sur l'analyse et la géométrie différentielle de ce point de vue me semble super intéressant, si un jour tu as le courage d'en raconter plus à ce sujet (une petite intro et des références) je serais ravi de te lire !
Beh je veux bien faire ton exercice avec $\mathbb{P}^1$ et $\mathbb{P}^2$, je suis certain que c'est un truc amusant, mais comme tu le sais je suis un peu en indélicatesse avec $\mathbb{P}^1$ en ce moment (ce n'est pas de ma faute pour une fois :-D).
Le problème pour moi (je ne suis pas géomètre ...etc..), pour le montrer de manière générale ``schématique'' (cela veut dire quoi ?), c'est que je ne sais pas ce qu'il ``faut faire'' ! Mais après tout, c'est fait dans https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.ducros/polym2.pdf, à la page 272 (cela fait peur le numéro de page). Faut-il le suivre ? Je n'en sais rien.
Suffit-il de dire (tiens l'algébriste qui revient au galop) que le noyau du $R$-morphisme $\varphi : R[X,Y,Z] \to R[U,V]$, qui réalise $X \mapsto U^2$, $Y \mapsto UV$, $Z \mapsto V^2$ est l'idéal $\langle Y^2 - XZ\rangle$ et ceci pour tout anneau commutatif $R$ ? Quel est le lien entre les deux ? ...etc...
PS : je ne me bloque pas avec ces histoires de catégories (la preuve j'ai tiré les 25 pages de Clemens Berger) mais j'en prends plein la tronche ...
Oui, c'est le cahier des charges qu'il "faut" comprendre et ça fait vraiment peur dans le pdf ! Mais bon je me pose la question, est-ce que c'est réaliste a mon niveau de comprendre ? M'enfin comme tu m'as déjà dit y a trois trucs à comprendre $\mathbb{P}^1$, $\mathbb{P}^2$ et $f$, faut les prendre $1$ à $1$. Bah on verra bien la semaine prochaine, mais faut que je fasse un peu d'algèbre :-D
Sujet interessant.
claude quitté écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1810116,1810934#msg-1810934
> @moduloP
> Le problème pour moi (je ne suis pas géomètre ...etc..), pour le montrer de manière générale
> ``schématique'' (cela veut dire quoi ?), c'est que je ne sais pas ce qu'il ``faut faire'' !
En fait si tu connais la preuve classique il n'y a essentiellement qu'une seule manière (peut-être 2 ou 3...) de la traduire de manière schématique.
Globalement quelle différence fais-tu entre la preuve classique et la preuve schématique. Finalement la preuve schématique se contente de dire que prendre "des coordonnées homogènes" c'est prendre des "sections d'un fibré". Le reste est la même chose. L'avantage du point de vue schématique c'est que tu peux le faire sur $\mathbb{Z}$ au lieu de le faire sur un corps par exemple.
Mais tu peux vérifier localement que tu as une immersion fermée exactement comme tu le ferais classiquement.
[Inutile de recopier intégralement un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Je suis étonné de ce que tu dis, mais c'est ptetr peut-être lié à mon tropisme qui vient du fait que je sois entouré de gens qui font de l'homotopie motivique. Du coup j'ai plutôt parfois la sensation inverse (qui n'est ptetr peut-être pas si éloignée de ce dont Claude semble vouloir parler...)
Par rapport au cours d'introduction à la géométrie algébrique "à l'ancienne", je suis pas d'accord avec toi (ayant suivi le même du coup ) j'ai préféré celui ci (au cours schéma faisceaux ...) mais bien sur quand tu vois le lien et l'efficacité de l'un par rapport à l'autre d'un point de vu "souplesse" tu ne peux être que convaincu (c'est aussi une question de goût évidemment), ceci dit ma préférence vient peut être d'ailleurs. Du professeur? :-D
Une idée, un peu en l'air : Est-ce que le morphisme $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^2$ se voit au niveau des Grassmannienne affine ?
Je veux dire est-ce que si je prends un anneau $R$, et un matrice $M \in \mathcal{M}_2(R)$ de trace $1$ et de déterminant $0$, est-ce que je peux "associer" une matrice de $\mathcal{M}_3(R)$ de trace $1$ et dont les mineurs $2 \times 2$ sont nuls qui coiffe (comme tu dis) le morphisme $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^2$ ?
Je peux préciser ma question si ce n'est pas clair.
dans certaines parties des mathématiques, on assiste à un excès de formalisme dans d'autres à un refus de tout formalisme. Enfin je suis d'accord lire d'abord Enriques, Reid, Clemens et les classiques, c'est le plus important.
@Maxtimax: quand Reid dit "for its own sake" il veut dire sans aucun but. C'est applicable à toutes les mathématiques. On ne développe jamais des théories à partir de rien, mais pour aller quelque part. Si l'on n'a pas une idée précise de là où vont aller, on fait des maths dans le vide. Mais là où à mon avis la question est difficile, c'est que l'intérêt du problème découle de sa capacité à mettre en évidence une théorie intéressante, c'est donc un raisonnement circulaire.
Bonne journée à tous,
M.
Je comprends parfaitement ce que tu dis car j'ai pensé hier à la même chose que toi. Et puis je me suis souvenu que j'avais écrit sur ce thème des exercices il y a un peu moins de 10 ans (notre livre avec H.L. est sorti en 2011) !! Je n'aime pas faire de la pub mais regarde les exercices 8, 9 pages 602, 603 et les problèmes 6, 7 à partir de la page 614 (ils sont tous corrigés, je pense) in http://arxiv.org/abs/1611.02942
Comment j'ai pu oublié cela et ne pas en parler (ou si peu) ? Toujours le même truc : je ne suis pas géomètre (tout ce qu'il y a de plus sérieux) et cela se voit vachement que notre point de vue est uniquement algébriste. Comme pratiquement personne ne fait comme nous autres (Henri + mézigue), j'ai pensé que ce n'était pas la bonne manière de procéder ou que c'était trop particulier à $\P^n$ qui est coiffé par $\GA_{n+1,1}$ (la Grasmannienne affine pour le rang 1). On n'a pas à recoller car on coiffe : et le truc au-dessus, sa vertu c'est d'avoir recollé ce qu'il coiffe.
Dans l'histoire du Veronese $\P^1 \to \P^2$, si on prétend que $(u : v) \to (x = u^2 : y = uv : z = v^2)$ définit un machin de $\P^1$ dans $\P^2$ (je demande pas la lune pour l'instant), il y a intérêt (minimum syndical) que cela transforme un vecteur unimodulaire en un vecteur unimodulaire. C'est le cas. Mais il n'y a pas que les points unimodulaires.
Et faut que l'on puisse dire la chose au niveau des $R$-points quelconques quelque soit l'anneau commutatif $R$. Si $E$ est un sous-module de $R^2$, en facteur direct et de rang 1, alors son image par Veronese est $\Sym(E)_2 \subset \Sym(R^2)_2$. Explication : $\Sym(R^2)$, c'est l'anneau de polynômes $\Sym(R^2) = R[u,v]$ et on a bien une inclusion $\Sym(E) \hookrightarrow \Sym(R^2)$ car $E$ est facteur direct dans $R^2$. Et on prend la composante homogène de degré 2
$$
R[u,v]_2 = Ru^2 \oplus Ruv \oplus Rv^3
$$
Le voilà notre réceptacle à l'arrivée : c'est un exemplaire de $R^3$ et $\Sym(E)_2$ y est en facteur direct et de rang 1.
Le voilà donc (partiellement) le foncteur au niveau des $R$-points : $E \mapsto \Sym(E)_2$. Tu as vu : je prononce le mot ``foncteur''. Partiellement, car il faut accompagner ce binz des espaces ambiants : un $R$-point de $\P^1$, ce n'est pas un module projectif de rang 1 qui vit dans l'éther : il doit être contenu dans $R^2$ et y être facteur direct.
Si on remonte à la Grassmanienne affine, voilà un aperçu de ce que cela donne : la matrice $P = \begin {bmatrix} a & b \cr c & d \end {bmatrix}$ est de projection de rang 1 et on voit la matrice $3 \times 3$ $Q$ qui lui correspond dans $\GA_{2,1} \to \GA_{3,1}$
$$
\begin {bmatrix} u'\cr v'\cr \end {bmatrix} =
P \begin {bmatrix} u\cr v\cr \end {bmatrix} =
\begin {bmatrix} au + bv\cr cu + dv\cr \end {bmatrix}, \qquad
\begin {bmatrix} u'^2\cr u'v'\cr v'^2\cr \end {bmatrix} =
Q \begin {bmatrix} u^2\cr uv\cr v^2\cr \end {bmatrix} =
\begin {bmatrix} a^2 & 2ab & b^2\cr ac & ad+bc & bd\cr c^2 & 2cd & d^2\cr \end {bmatrix}
\begin {bmatrix} u^2\cr uv\cr v^2\cr \end {bmatrix}
$$
Et la transformation $P \to Q$ est du genre algébrique il me semble (en tout cas, je ne vois pas de sinus dans les formules).
Est ce qu'ainsi, on participe à Veronese $\P^1 \to \P^2$ ? Je pense que oui. Mais participer ne suffit pas. Rappel : il se passe des trucs géométriques à la page 272 in https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.ducros/polym2.pdf
Si, après ce post, on ne comprend pas que je ne suis pas géomètre, je démissionne. J'ai remarqué qu'en général les gens te parlent comme si tu étais au courant de leur discipline. J'aimerais bien en entraîner certains en terrain inconnu et voir leur réaction.
@Maxtimax : vraiment désolé, je crois que j'ai mis la pagaille dans tes affaires et j'ai tendance à mélanger tes 3 fils ! Pour moi, il s'agit de ce que tu nous a donné à lire dans le mois qui suit (je parle d'au moins 3 fils) que je rassemble en UN (dans ma tête).
C'est la plus jolie matrice du monde :-D
$$\begin {bmatrix} a^2 & 2ab & b^2\cr ac & ad+bc & bd\cr c^2 & 2cd & d^2\cr \end {bmatrix}$$
La matrice $3 \times 3$, que je note $Q$, celle que tu trouves jolie, c'est $\Sym_2(P)$ avec $P = \begin {bmatrix} a&b \cr c & d\cr \end {bmatrix}$, $P$ étant quelconque (pas besoin que $P$ soit de projection de rang 1).
Mais si $P$ est de rang 1 (trace 1, déterminant nul donc $P^2 = P$), alors il en est de même de $Q$ (i.e. $Q$ est un projecteur de rang 1). Cela ne te fait pas peur d'avoir l'impression que la trace de $Q$ ne vaut pas 1 ?
Attention : on risque gros car si un géomètre passe par là et tombe sur ce traitement algébrique, on pourrait se faire remonter les bretelles.
Claude : aucun problème, aucune pagaille, on a une modération très efficace qui accepte de déplacer des messages (à notre plus grand bonheur). Je ne suis pas sûr que tu aies de quoi manger pendant un mois avec seulement ce que j'ai écrit par contre
Non non pas peur car c'est un $\Z[a,b,c,d]$-point de $\mathbb{AG}_{3,1}$ que l'on veut où $\Z[a,b,c,d] = \frac{\Z[X,Y,Z,T]}{\langle XT-YZ, X+T-1 \rangle}$ !
Je n'ai pas le temps aujourd'hui ni demain, mais je vais tout décortiquer !
Pour géométrie ou pas, je ne sais pas mais ça doit être la même chose ? Mais la page 272 que tu as pointé semble … hum hum !
C'est pas que je n'ai rien fait, c'est juste que je me pose des questions à la con (comme d'habitude :-D). Disons qu'avant de jouer avec $\mathbb{P}^1$ et $\mathbb{P}^2$, je préfère essayé de jouer avec des points !
Par exemple, ton joli foncteur $\mathbb{GA}_{2,1}$ donc foncteur des anneaux vers les ensembles. Et bien moi j'aimerai bien comprendre ce que représente le foncteur $R \mapsto \mathbb{GA}_{2,1}(R[\epsilon])$ avec $\epsilon^2 = 0$. Est-ce que c'est une histoire de fibré tangent ?
Avec Max, on a parlé d'une construction "hom interne". Le foncteur dont je parle peux également s'écrire $\mathbb{GA}_{2,1}^{\bullet_2}$ avec $\bullet_2$ le foncteur de la catégorie des anneaux vers la catégorie des ensembles donnée par $R \mapsto \{r^2=0 \mid r \in R\}$. Et donc la question c'est : est-ce le foncteur hom interne des morphismes d'un point double vers $\mathbb{GA}_{2,1}$ est le fibré tangent de $\mathbb{GA}_{2,1}$. Si y'a un peu de vrai je trouve ça très joli, tu envoie se balader un point double sur ton foncteur et l'ensemble des balades du point double c'est le fibré tangent (poétique, j'aime bien) !
Remarque : j'arrive a imaginer le fibré tangent sans trop savoir ce que c'est, mais j'ai pas vraiment essayé et je sais pas trop si ça existe en géométrie algébrique !
Mais j'ai quand même envie de remplacer $\epsilon$ par $i$ avec $i^2+1 =0$ ou peut être un point modulo $p$, j'ai plein d'idées de points à considérer mais c'est compliqué et je suis pas assez balèze :-X
Hum, question : est-ce que j'ai besoin de vacance ?
Donc je pense qu'on peut le comprendre comme fibré tangent, oui : en tout cas ça marche pour les groupes dans une certaine mesure (mais à prendre avec caution : j'y connais rien !)
Si on fixe un schéma $X\rightarrow Spec(k)$ au dessus d'un corps $k$, pour tout point $x\in X$ on définit l'espace tangent (de Zariski) au point $x$ comme le dual du $k(x)$-espace vectoriel $\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2$ qu'on note $T_xX$.
Voila comment apparait $k[\epsilon]$: on a une application $X(k[\epsilon])\rightarrow X(k)$ et si $x\in X(k)$ je note $X(k[\epsilon])_x$ sa préimage par l'application précédente.
Alors $T_xX$ est en bijection avec $X(k[\epsilon])_x$ (fonctoriellement en ($X$,$x$)).
J'ai vu ton post. Questions vacances : je ne peux pas répondre à ta place.
Quelques points : si je dis Chap X, section 4, sous-section Espaces tangents, est ce que tu comprends de quoi je cause ? Note que je parle d'espace tangent (en un point) et pas de fibré tangent. Et puisqu'on parle tangent, j'attache une page d'un brouillon (au cas où tu tirerais, c'est écrit que d'un seul côté, tu pourras faire brouillon derrière).
En ce qui concene $\GA_{2,1}$ par exemple, c'est plus qu'un foncteur des anneaux vers les ensembles : c'est un schéma affine. Au sens où il y a des EQUATIONS universelles (sur $\Z$). Ici because le 2, les équations REDONDANTES $P^2 = P$, $\det (P) = 0$ et $\Tr(P) = 1$.
Remarque : une fois, moi, pauvre algébriste, j'ai vraiment fait de $\GA_{3,1} \to \P^2$ un morphisme de schémas car parler de $P \mapsto \text{Im}(P)$ n'est pas suffisant. Il y avait un certain travail à réaliser mais je ne sais pas si cela te concerne.
En passant, j'insiste qu'il faut, comme partout ailleurs, être vachement précis (par exemple, ne pas confondre $P$ et sa transposée).
Quoi dire d'autre ? Je ne sais pas. Ah, si, j'ai pensé que relever Veronese $\P^1 \to \P^2$ en $\GA_{2,1} \to \GA_{3,1}$, c'était bien une idée tordue d'algébriste car je ne suis même pas foutu d'en décrire l'image, là-haut.
Une dernière chose : à plusieurs reprises, je me suis dit que j'allais tirer les pages de $272-x$ à $272+x$ in https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.ducros/polym2.pdf. Et plus je ne l'ai pas fait. Tiens, pourquoi ? Et d'ailleurs, je me souviens il y a quelque temps (un an), dans la rubrique Livres de ce noble forum, certaines personnes en disaient le plus grand bien ...etc.. Probablement, je n'en doute pas. Mais pourquoi ces personnes ne viennent pas nous dire des petites choses précises et simples aux enfants non géomètres que nous sommes ? Hein, pourquoi ? Tu vas dire que je mélange tout.
Ok pour le foncteur $\mathbb{GA}_{2,1}$ est affine est donc un schéma (foncteur local + condition de recouvrement par des schémas affines ici trivial puisque c'est affine). Et le foncteur $R \mapsto \mathbb{GA}_{2,1}(R[\epsilon])$ est également un foncteur local et donc la question de : est-ce que c'est un schéma se pose ?
Ce que je veux dire c'est que l'on est pas obligé de se limiter aux $k$-points pour parler de tangente, mais on peut parler d'un point quelconque $\zeta \in \mathbb{AG}_{2,1}(R)$ avec $R$ un anneau quelconque et dire qu'un élément tangent est simplement un point $\zeta' \in \mathbb{AG}_{2,1}(R[\epsilon])$ tel que le morphisme $R[\epsilon] \to R$ envoyant $\epsilon \to 0$, envoie $\zeta'$ sur $\zeta$. Et on collecte tout ça (donc les éléments tangents en tous les $R$-points pour tous les anneaux $R$) en le foncteur $R \mapsto \mathbb{AG}_{2,1}(R[\epsilon])$ qui est local et qui si il est représentable doit être un truc qui ressemble a ce qu'on a envie d'appeler fibré tangent !
L'autre truc (plus pour Max), c'est que cette construction s'obtient uniquement en considérant le point double $\bullet_2 : R \mapsto \{ r^2=0 \mid r \in R \}$ et en regardant le foncteur qu'on a noté $\text{HOM}(\bullet_2,\mathbb{AG}_{2,1})$ (le hom interne $\mathbb{AG}_{2,1}^{\bullet_2}$ si tu préfères). Dans l'autre fil (engendrement de $R[X]$), je disais que la construction $\text{HOM}$ est quand même compliqué et que même regarder $\text{HOM}(\mathbb{A}^1,\mathbb{A}^1)$ c'était déjà délicat, bin là avec $\bullet_2$ ça semble un peu plus humain :-D Normalement, j'ai bien vérifié que a colle vraiment au moins dans le cas où le foncteur de droite est affine !
J'ai trouvé un élément de réponse ici, peut être que ma remarque (c'est juste une remarque que je trouve amusante) sera plus claire ! Mais bien sûr peut-être que je raconte des conneries puisque je n'y connais rien du tout en algèbre et en géométrie et je pense que j'ai besoin de vacance, je me suis bousiller un ou deux neurones depuis quelques temps, mais j'aimerai bien comprendre quand même ce qu'il ce passe lorsque je remplace $\epsilon$ par $i$ :-D
Je pense qu'il ne faut pas toujours rester dans les généralités. A un moment donné, il faut bien obtenir ce qu'est l'espace tangent en un point $p$ de $\P^n$ (ne pas prendre $n$ trop petit sinon on n'y voit rien ; et pourquoi pas $n$ quelconque).
Oui, oui, Claude, et j'ai lu un peu votre livre (enfin quelques pages, bien sûr :-D) ! Mais en fait vous avez exactement fait ça pas seulement prendre les points sur un corps mais sur tous les anneaux (ou $k$-algèbre en version relative) etc !
Et comme vous avez déjà tout fait pour $\mathbb{AG}_{2,1}$ (enfin même beaucoup plus bien sûr) et bien c'est vacance pour moi :-D
Du coup, si j'ai bien lu le fibré tangent de $\mathbb{AG}_{2,1}$ (Disons que ce que je crois être le fibré tangent, je suis vraiment chiant des fois) est bien c'est un schéma affine donnée par :
Et donc l'élément tangent générique c'est $$ \Big(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} a+\epsilon x & b+\epsilon y \\ c +\epsilon z& d+\epsilon t \end{pmatrix}$$
Remarque :
Pour être un peu plus précis. Je note $\mathbb{AG}_{2,1}[\epsilon]$ le foncteur de $\text{Ring} \to \text{Ens}$ donnée par $R \mapsto \mathbb{AG}_{2,1}(R[\epsilon])$, je dis qu'on a un isomorphisme de foncteur $\text{Hom}(A,\bullet) \to \mathbb{AG}_{2,1}[\epsilon]$ donnée (via Yoneda) par l'anneau $A := \Z[a,b,c,d,x,y,z,t]$ (avec les relations que je ne recopie pas, celle du code sage sans $\epsilon$) et l'élément $\begin{pmatrix} a+\epsilon x & b+\epsilon y \\ c +\epsilon z& d+\epsilon t \end{pmatrix} \in \mathbb{AG}_{2,1}[\epsilon](A)$.
Si tu trouves que je fais joujou, c'est pas faux car je n'ai pas fait grand chose et je n'ai pas répondu a ta question concernant le projectif :-D
Je pense comprendre pourquoi tu es content : tu tiens un système d"équations du fibré tangent à $\GA_{2,1}$. On voit d'ailleurs que les équations en question sont linéaires en le paquet de variables ``du côté de l'accroissement''.
Mais par ailleurs, cela ne peut pas faire de mal de savoir que l'espace tangent en un $R$-point $P$ de $\GA_{n+1,1}$ est le $R$-module $T_P := L_R(\ker P, \Im P) \oplus L_R(\Im P, \ker P)$ ; comme $P$ est un projecteur de rang 1, $T_P$ est un module projectif de rang $2n$, ce qui te permet de voir la dimension $2n$.
Mais tu ne pars pas en vacances tout de suite : peux tu trouver sur la toile une description de l'espace tangent en un $R$-point de $\P^n$ compréhensible par nous autres ? Sur la toile, via des géomètres, et pas chez des algébristes qui n'y connaissent rien à la géométrie algébrique et utilisent une approche totalement anti-intuitive.
Je ne suis pas d'accord avec toi. Je suis content car justement c'est ULTRA-intuitif ! Je répète quand même que j'ai profité du fait que vous avez fait le boulot (dans votre livre) de décrire les choses et que je n'ai rien fait moi (a part faire joujou) et donc y'a un travail a faire !
D'ailleurs c'est amusant car ta matrice $3 \times 3$, celle que j'ai qualifié de plus jolie matrice du monde, et bien elle induit une trasformation naturelle $\mathbb{AG}_{2,1} \to \mathbb{AG}_{3,1}$ (un morphisme de schéma affine) et de manière évidente une transformation naturelle de $\mathbb{AG}_{2,1}[\epsilon] \to \mathbb{AG}_{3,1}[\epsilon]$ … en générique :
$$
\begin{pmatrix} a+\epsilon x & b+\epsilon y \\ c +\epsilon z& d+\epsilon t \end{pmatrix} \mapsto \begin {bmatrix} (a+\epsilon x)^2 & 2(a+\epsilon x)(b+\epsilon y) & (b+\epsilon y)^2\cr (a+\epsilon x)(c +\epsilon z) & (a+\epsilon x)(d+\epsilon t)+(b+\epsilon y)(c +\epsilon z) & ( b+\epsilon y)(d+\epsilon t )\cr (c +\epsilon z)^2 & 2(c +\epsilon z)(d+\epsilon t) & (d+\epsilon t)^2\cr \end {bmatrix}$$
c'est un peu chiant mais faut intégrer $\epsilon^2=0$ mais j'ai simplement remplacé ce qu'il faut dans la construction, rien de plus. C'est un peu lourd à écrire mais on voit bien les choses, on voit bien la structure linéaire, les espaces tangents et ce que veut dire faire $\epsilon =0$, la trace égal à $1$, les mineurs $2 \times 2$ nulle, $P^2=P$ etc. Bref, c'est joli et très clair et très intuitif, je ne détails pas plus, là flemme d'écrire les grosses matrices :-D
D'ailleurs, je suis tombé sur un phrase qui m'a un peu perturbé : ici
Une petite question avant de partir en vacance. Qu'est ce qu'il faut comprendre dans cette phrase ?
Et une autre fois, j'avais attaché SchemesFromJantzenRepAlgGroups.pdf (18 pages), petit topo sur les schémas via le foncteur des points. Avec une comparaison avec l'autre école. Et l'auteur utilisait le mot schemes d'une part et ``schemes'' d'autre part pour les distinguer.
1. Te souviens tu de ces 2 attachements ?
2. Es tu en vacances alors que le tangent en un $R$-point à $\P^n$ est en rade ?
Je me souviens de Jantzen mais pas de GrothendieckAtBuffalo1973.pdf … j'ai retrouvé le lien ici (balèze non ?). D'ailleurs, c'est marrant car dans la discussion en lien tu avais posé la question de comment on fait pour passer de $\C$ à $\mathbb{F}_p$, on avait pas trop répondu avec Lupulus.
Pour Jantzen, je viens de regarder un peu de nouveau : le truc que j'ai noté $\text{HOM}(\bullet_2,\text{AG}_{2,1})$ c'est ce qu'il note $\mathcal{Mor}(X,Y)$ (page 17 de l'extrait) et Max à noté ça $Y^X$. D'ailleurs, on voit le lien avec ce que j'ai noté $\mathbb{AG}_{2,1}[\epsilon]$, au milieu de la page :
$$
\mathcal{Mor}(\text{Sp}_{k}(R),Y)(A) \simeq \dots \simeq Y(R \otimes A)
$$
Ah bin, ça veut dire que je ne dit pas trop de conneries, ouf :-D
D'ailleurs, je dois relire précisément mais il me semble qu'on a une formule :
$$
\text{Hom}(A \times B,C) \simeq \text{Hom}(A, \mathcal{Mor}(B,C))
$$
@ Max, j'allais te dire que j'avais foutu le bordel sur ton fil mais mais cette dernière formule c'est exactement la même que celle que tu as donnée au départ ! Pour l'instant, je ne sais pas trop ce que je vais en faire, mais je vais essayé de la faire parler :-D
Je regarde demain $\mathbb{P}^n$, sauf si j'ai une autre idée à la con, par exemple remplacer $\epsilon$ par $i$ ou par $X$ ! D'ailleurs, faudrait que je comprenne également le lien avec Grothendieck lisse.
Si ta formule est correcte je te propose un exo : montrer qu'on a la même en remplaçant $\mathrm{Hom}$ par $\mathcal{Mor}$ des deux côtés à l'extérieur. Le faire en au plus 2 lignes.
De mon côté, j'ai un souci. On m'a fourni un projecteur en m'assurant qu'il est de rang constant. Mais j'ai perdu son rang. T'as un truc pour le retrouver (le rang) ?
Hum, j'ai toujours aussi peur d'utiliser les propriétés abstraites mais :
Pour $R$ un anneau,
$$
\mathcal{Mor}(A \times B,C)(R) = \text{Hom}(A \times B \times h_R, C \times h_R) = \text{Hom}(A \times h_R,\mathcal{Mor}(B,C \times h_R)
$$
Mais comme $X \to \mathcal{Mor}(B,X)$ est adjoint à droite, il commute au produit et donc :
$$
\text{Hom}(A \times h_R,\mathcal{Mor}(B,C \times h_R) = \text{Hom}(A \times h_R, \mathcal{Mor}(B,C) \times h_R) =: \mathcal{Mor}(A,\mathcal{Mor}(B,C))(R)
$$
Edit : Commuter c'est pas ça !!! Merci Max !
Les mineurs ? Par contre, quand tu dis rang constant, je ne comprends pas trop, ça veut dire pour tout anneau et tout $a,b,c$ le rang est constant ? Et donc, ça doit se traduire dans $\Z[a,b,c]$ par le maximum des $r$ tel que $1 \in \text{Ideal engendré par les mineurs $r \times r$}$ ? (c'est un peu spéculatif ce que je dit là, je dois réfléchir un peu).
Allez, je me ridiculise : $ac-a+1+a-ac+1 = 2$. Dans l'algèbre linéaire pour les enfants que j'utilise moi, le rang d'une projection, c'est sa trace, mais j'imagine que c'est HS dans le contexte où tu poses la question ?
Si $P$ est un projecteur $n \times n$ quelconque, tu poses :
$$
R_P(X) = \det\big(I_n + (X-1)P\big)
$$
Je note $R$ au lieu de $R_P$. Exercice : on a $R(1) = 1$ et $R(XY) = R(X)R(Y)$ (en utilisant $P^2 = P$). Tu en connais des polynômes comme cela ? Exemple : $R(X) = X^d$ auquel cas on dit que $P$ est de rang constant $d$. Par exemple, une matrice diagonale avec $d$ 1 et $n-d$ 0. Ici $P$ est de rang 2.
De manière générale, $R(1) = 1$ et $R(XY) = R(X)R(Y)$ fait que $R(X) = r_0 + r_1X + r_2X^2 + \cdots$ avec les $r_i$ idempotents, deux à deux orthogonaux et de somme 1. D'où une partition du spectre, et sur les ouverts de la partition, le rang est constant.
Bilan : le rang d'un projecteur n'est pas un entier mais un polynôme (on peut aussi y penser comme une fonction localement constante sur le spectre). Et quand tu vois un entier $d$, il faut penser à $X^d$. Et d'ailleurs, en passant, $X^d$ c'est plus solide que $d$ car il est calculé sur l'anneau tandis que $d$ dans l'anneau pourrait se ramollir en cas de caractéristique non nulle.