Exactitude du produit tensoriel

$\def\F{\mathbb F}$@ModuloP
La trace, pas assez robuste. Au fait, je l'ai pas dit mais en ce qui concerne $P$, j'étais avec des indéterminées au dessus de $\F_2$. Et tu as trouvé comme trace 0. Parce que la trace cela se calcule sur l'anneau des coefficients. Tandis que le polynôme rang de $P$ est $X^2$. Ca, c'est du costaud.

@Max :
Pour tout $X$, $$\text{Hom}(X \times A \times B,C) = \text{Hom}(X,\mathcal{Mor}(A \times B,C))$$
Mais également :
$$
\text{Hom}(X \times A \times B,C) = \text{Hom} (X \times A, \mathcal{Mor}( B,C)) = \text{Hom}(X,\mathcal{Mor}(A,\mathcal{Mor}(B,C))
$$

$\def\P{\mathbb P}$@Nîmes-man
Cette notion de polynôme rang est spécifique aux projecteurs. Il faut bien en comprendre le contexte : à la base, un anneau commutatif quelconque ; si on se limitait aux corps commutatifs, cela n'aurait guère d'intérêt.

En ce qui concerne la notion de rang pour une matrice (non nécessairement carrée) sur un anneau commutatif quelconque, il y en a plusieurs. Celle de rang naïf (= stupide) via la taille du plus grand mineur non nul (stupide à cause de la qualification ``non nul'' dans un cadre général). En voici deux autres sans explication : rang fort, rang stable.

Ce fil est parti dans tous les sens et j'en suis fortement responsable. Pourquoi j'ai causé de projecteur ? Car les modules projectifs (sous-entendu de type fini) sont exactement les images des projecteurs. Pourquoi on a causé de modules projectifs ? Car ils interviennent dans $\P^n$. Pourquoi on a causé de $\P^n$ ? Parce que l'on a causé foncteurs (c'est Maxtimax qui ...) et que $\P^n$ peut-être vu comme un foncteur de la catégorie des anneaux vers la catégorie des ensembles.

De la lecture : Vector bundle and projective modules (1962) de R. Swan http://www.ams.org/journals/tran/1962-105-02/S0002-9947-1962-0143225-6/S0002-9947-1962-0143225-6.pdf. Si on regarde bien, on en voit des projecteurs. Note : c'est dans le cadre topologique ; dans le cadre algébrique, Serre a déjà commis en 1955 sa petite centaine de pages sur ``Faisceaux algébriques cohérents''.

Quitte à être décousu, autant l'être pour de bon. Je pointe ici sur un géomètre : Gathmann, Algebraic Geometry, https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002.pdf et j'attache la dernière page (références bibliographiques). Cf ses commentaires.

@moduloP : j'ai trouvé un traitement pas snob de l'espace tangent à $\P^n$ chez Dolgachev (il est dans les références de Gathmann). Notre traitement algébrique est d'une lourdeur éléphantesque.

@Max : Ok !

@Claude : la page de I. Dolgachev ne fonctionne pas aujourd'hui !

Claude,

Je dois avoir un problème de navigateur alors, car la page ne fonctionne pas. Pas très grave, je pense que je vais m'en sortir avec votre livre. Mais c'est un peu complexe en gros il faut comprendre ce que veux dire que $P+\epsilon H$ et $P+\epsilon H'$ deux projecteurs de rang $1$ sur $R[\epsilon]$ ont la même image et dégager la structure linéaire. Beh vous l'avez fait page 583 mais faut comprendre :-D

En appliquant le fait 4.11. On voit que ça veut dire :
$$
HP = H'P \qquad \qquad P(H-H') = H-H'
$$
La première condition dit que : $H$ et $H'$ donne le même $R$-morphisme sur $p = \text{Im}(P)$. Ce qui explique le $p$ au départ mais là faut réfléchir un peu plus pour comprendre le $L_R(p,R^n/p)$. C'est un tantinet complexe :-D

Merci pour les compléments.

@moduloP
Vu. Bonnes vacances. Je vais quand même essayer de trouver comment font les pros.

Coucou Claude,

Non non, ça ne me passe pas par dessus la tête, c'est que pour l'instant je n'arrive pas a spécifier ce que l'on veut par "canoniquement", il me manque deux ou trois trucs (qui n'ont rien a voir avec $\mathbb{P}$ pour l'instant, c'est un autre problème) du coup pour l'instant je fais juste joujou avec un cercle (bah oui, un cercle ça ressemble à un hochet (pour que les bébés puissent faire leurs dents :-D).

Niveau programmation : le truc vraiment chiant, c'est le nombre de variables (hum hum).

Bonsoir,

comme je vois mon nom cité je me permet d'intervenir. Désolé j'ai eu beaucoup de travail récemment et plein d'intervenants m'ont gentiment répondu sans trop de réponse de ma part. J'espère que ce que je vais écrire va vous être utile. Je regarde uniquement l'espace projectif car je ne connais pas de bonne justification en général (disons celle que je connais est la même déjà mentionné sur math.stackexchange).

Passons aux maths : pour moi, la meilleur traduction de "canonique" c'est de dire qu'on a un isomorphisme de fibrés $T\Bbb P^n \cong \text{Hom}_{\mathcal O_{\Bbb P^n}}(\mathcal O(-1), \mathcal O^{n+1}/\mathcal O(-1))$. En effet, en prenant la fibre en chaque point fermé $p \in \Bbb P^n$ on retrouve l'égalité de Claude $T_p \Bbb P^n \cong Hom(p, k^{n+1}/p)$. Ici $\mathcal O$ est le fibré trivial, et $\mathcal O(-1)$ est le "fibré tautologique", qui vérifie $\mathcal O(-1)_p \cong p$ canoniquement pour $p \in \Bbb P^n$.

Obtenir cette description de $T\Bbb P^n$ est principalement équivalent à la "suite d'Euler" dans le cas de l'espace projectif : $$ 0 \to \mathcal O \to \mathcal O(1)^{n+1} \to T\Bbb P^n \to 0 $$ où la première application est l'inclusion $\mathcal O(-1) \to \mathcal O^{n+1}$. Wikipédia dit que c'est valide pour l'espace projectif sur un anneau arbitraire mais je préfère penser à un corps $k$. De manière concrète, en $p \in \Bbb P^n$ le premier morphisme est donné par l'inclusion $p \subset k^{n+1}$. Le second morphisme envoie $(l_1, \dots, l_{n+1})$ sur le champ de vecteur $\sum l_i \frac{\partial}{\partial x_i}$. Ici j'identifie les sections de $\mathcal O(1)$ avec des formes linéaires définies sur $k^{n+1}$. Notons que $\sum x_i \frac{\partial}{\partial x_i}$, le "vecteur d'Euler", est envoyé sur zéro.

Géométriquement, comment on obtient la suite d'Euler ? On regarde l'application quotient $q : (k^{n+1} - 0) \to \Bbb P^n$. On remarque que 1) si un champ de vecteurs $\sum p_i\frac{\partial}{\partial x_i} $sur $k^{n+1} - 0$ (ici $p_i$ sont des polynômes arbitraires) définit un champ de vecteurs sur $\Bbb P^n$ il faut que les $p_i$ soit de degré $1$. 2) Un champ de vecteur est zéro exactement lorsqu'il préserve chacune des droites de $k^{n+1}$ i.e de la forme $\lambda \sum x_i \frac{\partial}{\partial x_i}$. Et voilà.

Par conséquent, $T \Bbb P^n \cong \mathcal O(1)^{n+1}/\mathcal O$. Maintenant, on peut écrire $\mathcal O(1) = Hom(\mathcal O(-1), \mathcal O)$ et $\mathcal O =Hom(\mathcal O(-1), \mathcal O(-1)) $. On obtient bien que $$ T \Bbb P^n \cong \mathcal O(1)^{n+1}/\mathcal O \cong Hom(\mathcal O(-1), \mathcal O^{n+1})/Hom(\mathcal O(-1),\mathcal O(-1)) \cong Hom(\mathcal O(-1), \mathcal O^{n+1}/\mathcal O(-1)) $$

$\def\P{\mathbb P}$@Lupulus
1) D'abord merci. J'avais promis une tablette de chocolat, et moduloP ne s'étant pas engagé, je vais casser ma tirelire.

MAIS

2) Ton post s'adresse à une personne qui a un peu de métier dans cette histoire. J'espère que tu es d'accord avec ce constat. Peut-on faire plus élémentaire pour les bébés ? Pour une personne ``non géomètre'' ? Dommage que tu ne disposes pas de beaucoup de temps.
Ou encore : comment un géomètre et un algébriste peuvent-ils communiquer dans/sur ce type de terrain ? J'ai bien vu par exemple, de manière prudente, que tu te plaçais sur un corps. En passant, cela veut dire quoi se placer sur un anneau ici ?

A propos de difficulté de communication algèbre/géométrie. Je pense, dans un autre domaine, au livre de Stichtenoth Algebraic Function Fields and Codes où l'on ne voit pas une seule fois (ou presque) de courbe algébrique.

Ou encore qu'en pense moduloP de tout cela ?

3) Certains auteurs essaient de donner un traitement élémentaire de l'espace tangent en un point de $\P^n$. C'est le cas de Dolgachev in http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/631.pdf (j'ai attaché son chapitre 13 dans un post à moduloP).

En attaché, un autre auteur, une pointure, une sacrée pointure. Regarde l'encadré en rouge. On va dire qu'il s'agit d'une coquille (et pas d'une erreur) : il ne figure pas $L_k(l_\xi, V/l_\xi)$ mais seulement $V/l_\xi$. Je dis coquille car x pages plus loin, il donnera la bonne version.

Question à toi, à moduloP : qui est cet auteur ?

Je vais répondre à ton objection Claude. En fait c'est rigolo car je suis plutôt algébriste maintenant, mais pour la géométrie algébrique je préfère avoir l'intuition donnée par les variétés complexes comme par exemple dans le livre de Claire Voisin.

Désolé d'écrire beaucoup, c'est sans doute que je ne comprends pas très bien ces choses là en dehors de mon point de vue (i.e c'est généralement le signe qu'on en comprend pas grand chose).

a) Se placer sur un anneau : je n'ai pas une bonne intuition pour les $A$-points de $\Bbb P^n$, qui correspondent je crois aux surjections $p :A^{n+1} \to P$, où $P$ est projectif de rang $1$. Je me trompe ? Espérons que j'ai juste, comment obtenir une droite $\ell \subset A^{n+1}$ ? Je dirais prendre $\ker p$ qui est un "hyperplan" $H \subset A^{n+1}$ et considérer ça comme une forme linéaire en prenant le dual $\text{Hom}_A(A^{n+1},A)$. Je l'avoue franchement je ne sais même pas si ce que je dis marche pour un anneau quelconque, j'ai juste espéré que tout marche comme en algèbre linéaire de bébé.

b) Je pense que le bon langage pour identifier $T\Bbb P^n$ est celui des fibrés vectoriels, et aussi le plus géométrique vu qu'on considère directement la variété sous-jacente du fibré plutôt que son faisceau des sections par exemple. De plus on a défini cet aspect "canonique" (ou disons : défini globalement). Est-ce que tu es d'accord ? Si oui, alors on cherche à identifier $T\Bbb P^n$ comme fibré vectoriel de manière "canonique". Si on obtient une telle description, en général c'est assez facile de décrire les fibres (et c'est ce que j'ai fait).

c) Peut-être commencer par le fibré tautologique $\mathcal O(-1)$ sur $\Bbb P^n$ ? Pourquoi pas donner sa définition ? On prend un corps algébriquement clos $k$ (aïe je fais de plus en plus de restriction : j'avoue j'ai envie de savoir exactement ce que sont mes points fermés). On regarde $E \subset \Bbb A_k^{n+1} \times \Bbb P^n_k$ défini par l'équation $\{(x,p) \mid x \in p \}$. C'est bien une variété algébrique fermée, et de plus la projection $pr : E \to \Bbb P^n$ vérifie $pr^{-1}(p) \cong p$. C'est ce que j'ai noté $\mathcal O(-1)$. On est d'accord jusque là ?

Hello,

Je fais le guignol (je pense que j'ai trouvé en quoi je suis spécialiste : faire le guignol :-D). Alors en me baladant dans la rue j'ai trouvé deux matrices à coefficient dans $\Q[t]/(t^3)$ :
$$
A = \left(\begin{array}{rrrr}
-1 & 0 & 2 t^{2} + 2 & 2 t \\
0 & -1 & 2 t & 2 \\
1 & -t & -2 & 0 \\
-t & t^{2} + 1 & 0 & -2
\end{array}\right)

\qquad \qquad
B = \left(\begin{array}{rrrr}
- 2 t & 4 t^{2} + 2 & 2 t & -2 t^{2} - 2 \\
-2 t^{2} & 2 t & 2 & -2 t \\
t & -t^{2} - 1 & 0 & 3 \\
1 & -t & -1 & 0
\end{array}\right)
$$
Bon elles ont le bon gout de commuter et de vérifier $A^2+B^2 = I$.

sage: gt^2+ht^2

[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
sage: gt    <---- j'ai coupé les matrices à l'ordre $3$ car c'est plus simple pour l'affichage 

[       -1         0 2*t^2 + 2       2*t]
[        0        -1       2*t         2]
[        1        -t        -2         0]
[       -t   t^2 + 1         0        -2]
sage: ht

[     -2*t^3 - 2*t 2*t^4 + 4*t^2 + 2               2*t        -2*t^2 - 2]
[           -2*t^2       2*t^3 + 2*t                 2              -2*t]
[                t          -t^2 - 1                 0                 3]
[                1                -t                -1                 0]

Du coup, j'ai un joli $\Q(t)$-algèbre $K$ engendrée par les deux matrices ! Bon du coup, le couple $(A,B)$ est un point du cercle à valeur dans $A$ ! Mais maintenant je me souviens que c'est facile de trouver un vecteur tangent en un point du cercle il suffit de prendre un vecteur orthogonal au rayon passant par le point, du coup je considère :
$$
A_\epsilon = A + B \epsilon \qquad \qquad B_\epsilon = B -A \epsilon
$$

sage: Ae = gt+e*ht
sage: Be = ht-e*gt
sage: Ae^2+Be^2

[e^2 + 1       0       0       0]
[      0 e^2 + 1       0       0]
[      0       0 e^2 + 1       0]
[      0       0       0 e^2 + 1]
sage:
Ah c'est cool ça marche bien :  (Ae,Be) est bien un point du cercle à coefficient dans K[epsilon]  au dessus de (A,B)

C'était ma petite blagounette de la journée :-D

oups !

$\def\Spec{\text{Spec}}\def\Spm{\text{Spm}}\def\P{\mathbb P}\def\Z{\mathbb Z}\def\C{\mathbb C}\def\GA{\mathbb {GA}}\def\O{\mathcal O}$@Lupulus, Mauricio, moduloP
J'essaie de répondre à ma manière, un peu (??) en vrac. Ne pas se fier à la numérotation ci-dessous.

1) Je suis d'accord avec Mauricio : il faut, il est indispensable, de savoir faire des petites choses simples. On a vu ici, sur ce noble forum, des personnes poser des questions, hum, hum. On y voit parfois d'ailleurs des réponses de Mauricio qui s'étonne de ... (moi pareil, sauf que je ne dis rien). Mais ne commençons pas par polémiquer. La question est quand même : peut-on à un débutant en géométrie algébrique (j'insiste sur débutant) essayer de raconter des choses pertinentes sur l'espace tangent à $\P^n$ ? Comme le font Dolgachev, Shafarevich (dans son Basic Algebraic Geometry 1, en corrigeant toutefois sa coquille).

2) Algèbre (?) : codage des $R$-points de $\P^n$ où $R$ est le nom de l'anneau commutatif (qui changera peut-être au cours du post). Il y a deux écoles : l'école de truc et celle de machin, qui sont duales l'une de l'autre. Pour truc, un $R$-point de $\P^n$ est un sous-module de $R^{n+1}$, projectif de rang 1, facteur direct dans $R^{n+1}$. Je ne veux pas moucharder (mais je le fais), j'ai vu que moduloP ne mentionnait pas cette clause de facteur direct. On peut noter d'ailleurs qu'il est inutile de dire projectif car facteur direct fait le job. C'est rang 1 qui est important. De manière concrète, on peut remonter à la grassmanienne affine $\GA_{n+1,1}$. On en a déjà parlé dans ce fil.

L'école duale, celle de machin, décrète qu'un $R$-point de $\P^n$ est une surjection $R^{n+1} \twoheadrightarrow P$ où $P$ est un $R$-module projectif de rang 1.

On passe d'une école à l'autre par dualité (transposée) : si $\iota : E \to R^{n+1}$ est un sous-module facteur direct (une injection rétractée), alors $\iota^\star : R^{n+1} \to E^\star$ est une surjection sur le dual $E^\star$. Qui est un module projectif de rang 1 si $E$ l'est. Idem dans l'autre sens. Note : j'ai identifié $R^{n+1}$ à son dual mais c'est peut-être pas bien quand l'espace ambiant est noté $V$. Do you see what I mean ? On peut probablement voir cette dualité au niveau de $\GA_{n+1,1}$ où l'on dispose de l'opération de transposée sur les matrices.

3) $\Z$ versus $\C$ (c'est pour moduloP qui me taquine). Depuis pas mal de temps, je ne confonds plus le lieu de vie des coefficients des équations et le lieu de vie des points. J'ai vu pas mal de personnes commencer un exposé en disant ``je me place sur $\C$ parce que algébriquement clos, caractéristique $0$ ...etc...''. Et parfois, à la fin de l'exposé, il y avait un exemple (si, si, je dis bien un exemple pas deux). A ce moment là, le système exemple exhibé (des équations, des polynômes, bref, des objets de la géométrie algébrique pour les bébés, quoi) étaient à coefficients dans $\Z$. Véridique.

4) Que se passe-t-il dans ma tête quand on me dit ``soit $A$ un anneau commutatif''. Tiens l'anneau a changé de nom. Et bien aussi sec, je pense à $A$ une $\C$-algèbre de présentation finie i.e. à $A$ de la forme $A = \C[Y_1, \cdots, Y_m]/\langle F_1, F_2, \cdots\rangle$. Au dénominateur, il y a un nombre fini de polynômes. Et bien entendu, je pense à la variété affine associée $X$ réalisée dans $\C^m$, ou bien à des machins comme $\Spm (A)$, $\Spec(A)$ plus abstraits, réalisés dans l'éther. A ce moment là, c'est une bonne chose de nommer les habitants de $A$ : $f, g, h$ de manière à ce qu'ils sentent la fonction et pas bêtement $a,b,c$.

5) Quid alors d'un $A$-point de $\P^n$ ? Comme je suis petit joueur, je commence par une droite unimodulaire de $A^{n+1}$ (je précise que je suis de l'école de truc) et donc je considère un vecteur unimodulaire $(f_0, f_1, \cdots, f_n)$ i.e. liés par une relation $\sum_i u_i f_i = 1$. Sans oublier qu'il y a plusieurs vecteurs générateurs possibles (une histoire d'inversible quelque part). Et peut-être dans ma tête, je pense à :
$$
f : X \to \P^n \qquad x \mapsto (f_0(x) : f_1(x) : \cdots : f_n(x))
$$
Partout défini grâce à l'unimodularité. Et si je prends un autre vecteur générateur de la droite unimodulaire, je ne change pas $f$.
Et plus tard, bien plus tard, quand certaines choses seront prêtes, il y aura un machin (fibré vectoriel) au dessus de $\P^n$, noté $\O_{\P^n}(1)$. Et quand on prendra le tiret en arrière (pull back) de ce fibré par $f$, on obtiendra un fibré (vectoriel) au dessus de $X$ dont le module des sections s'identifie au $A$-module projectif de départ. I.e. au $A$-point de $\P^n$ dont on est parti. Enfin, un truc comme ça.

Bien sûr, c'est dans ma tête, qu'il y a cela. Je ne dis pas qu'il y a cela exactement, je n'en sais rien (je ne suis pas géomètre).
Et je n'oublie pas que les $A$-points de $\P^n$ ne sont pas tous des droites unimodulaires. Surtout pas avec le type d'anneau $A$ que j'ai choisi.

6) $L_k(p, k^{n+1}/p)$ versus $k^{n+1}/p$ pour une droite $p$ de $k^{n+1}$ où $k$ est ici un corps, ce n'est pas la même chose, pas du tout la même chose. Il faudrait développer.

7) Et j'avais prévu de parler du codage par module gradué. Mais cela commence à être long (et décousu). Je commence quand même à en dire un mot. Ici, $k$ est un anneau et tous les objets qui viennent sont des foncteurs en $k$. Il y a $S = k[X_0, \cdots, X_n]$ la $k$-algèbre des coordonnées homogènes de $\P^n$. Bon, j'ai la flemme, je me contente d'attacher une demi-page.

J'envoie. Advienne que pourra. Ma question était également : algébristes et géomètres peuvent-ils échanger ? Les pointures sans aucun doute. Mais les petits qui connaissent un peu un domaine et pas trop l'autre ?

8) PS : oubli. Et si on causait, histoire de faire concret, du module des sections du ``fibré tangent à $\P^n$'' ? De dimension $(n+1)^2 - 1$. Et on pourrait en voir de telles sections.

$\def\P{\mathbb P}$@moduloP
Ce n'était pas du tout le but escompté. Je parle de ton dernier post où tu dis qu'après mes ``explications'', tu es maintenant persuadé de ne rien comprendre à l'histoire de $\P^n$ et tutti quanti. Et probablement que c'était plus clair chez toi AVANT. Et tu n'as pas pensé que mes ``explications'' pouvaient être foireuses (pas toutes, mais certaines) ?

Hello Claude,

Il n'y a absolument rien de négatif a comprendre qu'on a rien compris :-D c'est même plutôt positif, non ? Ca permet de revenir dans le passé et d'essayer de mieux comprendre : par exemple quand j'écrits de manière naïf sur ma feuille de papier, on considère l'application $\mathbb{P}^1$ dans $\mathbb{P}^1$ donné par $x \mapsto \frac{4}{27}\frac{(x^2-x+1)^3}{x^2(x-1)^2}$. Qu'est ce qu'il y a exactement dans le bébé :-D Enfin, bref la suite au prochain numéro !