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Groupes d'ordre 18

Envoyé par Yannguyen 
Groupes d'ordre 18
il y a huit mois
Bonjour,

Démontrer, sans recourir à la classification (visible dans le livre d'Alain), que tout groupe d'ordre $18$ possède un sous-groupe distingué d'ordre $3$.


Cordialement,

Yann

(Si vous aimez ce genre d'exos, déterminer les trois groupes d'ordre $24$ qui n'ont pas quant à eux de sous-groupe distingué d'ordre $3$ (autrement dit, qui ont au moins trois éléments d'ordre 3) ; évidemment, le groupe symétrique $\mathfrak S_4$ en fait partie, tout comme le groupe $\mathfrak A_4\times C_2$. Il est à noter qu'il y a quinze groupes d'ordre 24 dans la nature, dont trois sont abéliens.)
Re: Groupes d'ordre 18
il y a huit mois
Je vois bien un sous-groupe d'ordre 9 qui est distingué (d'indice le plus petit diviseur de 18), si il est non commutatif, il aura un centre d'ordre 3 ( et un sous-groupe caractéristique d'un groupe distingué est distingué). Par contre j'ai loupé un morceau dans le cas ou le sous-groupe d'indice 9 serait commutatif (peut-être que dans ce cas le groupe est abélien, mais je ne vois pas pourquoi).
Re: Groupes d'ordre 18
il y a huit mois
"Un groupe d'ordre 9 non commutatif"... j'ai loupé une bonne occasion de la fermer!
Re: Groupes d'ordre 18
il y a huit mois
Bonsoir,

Soit $G$ un groupe d'ordre $2p^2$, où $p$ est un nombre premier impair.
Les théorèmes de Sylow nous disent que le nombre de $p-\text{sous-groupes de Sylow de}\: G$ divise $2$ et est congru à $1 \mod p$.
Donc $G$ admet un unique sous- groupe $H$ d'ordre $p^2$, qui est distingué dans $G$. Ainsi tous les éléments d'ordre $p$ ou $p^2$ de $G$ sont dans $H$.

$\bullet \quad$ Si $ H\simeq \Z/p^2\Z$, alors, en notant $a$ un générateur de $H$, $\: \langle a^p \rangle $ est l'unique sous-groupe d'ordre $p$ de $G$. Il est donc distingué dans $G$.
$\bullet \quad$ Sinon, $H \simeq \Z/p\Z \otimes \Z/p\Z$. (tout groupe d'ordre $p^2$ est abélien).$\quad\ H$ est un espace vectoriel de dimension $2$ sur le corps $\mathbb F_p$.
Soit $b$ un élément de $G$ d'ordre $2.\:\:\:$ Alors $ \Phi: \quad \left \{ \begin{array} {ccc} H& \longrightarrow& H\\x&\longmapsto &bxb^{-1} \\ \end{array} \right.$ est un automorphisme de l'espace vectoriel $H$ vérifiant $\Phi^2 = \text{Id} $ .
$\:\:\Phi$ possède un polynôme annulateur scindé sur $\mathbb F_p$ et par conséquent un vecteur propre $a$.
$\quad\langle a \rangle$ est alors un sous-groupe distingué d'ordre $p$ de $G$ .$\quad (G = \langle b \rangle H)$.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par LOU16.
Re: Groupes d'ordre 18
il y a huit mois
C'est bien joli LOU16 thumbs down

$\def\G{\mathbb{K}}$
Re: Groupes d'ordre 18
il y a huit mois
Oui, LOU16, joli. Et content que tu sois là. Mais il y a quand même un petit problème.
> G18 := SmallGroups(18) ;                                        
> #G18 ;
5
> [#Subgroups(G : OrderEqual := 3, IsNormal := true) : G in G18] ;
[ 0, 0, 0, 0, 0 ]
Quel problème ?
Re: Groupes d'ordre 18
il y a huit mois
avatar
Si je comprends bien le problème.

Un groupe $G$ d'ordre $18$ a un unique sous-groupe $H$ d'ordre $9$.
Ce sous-groupe $H$ d'ordre $9$ possède, sauf erreur, $4$ sous-groupes d'ordre $3$ si ce sous-groupe n'est pas cyclique.
En considérant l'action de $G$, par conjugaison, sur l'ensemble de ces $4$ sous-groupes d'ordre $3$ on voudrait montrer qu'il y a une orbite qui est réduite à un seul élément.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Groupes d'ordre 18
il y a huit mois
Claude,

T'es certain de la commande Magma ?

$\def\G{\mathbb{K}}$
Re: Groupes d'ordre 18
il y a huit mois
avatar
Pour continuer sur mon constat, en espérant ne pas écrire (trop) d'énormités.

On fait agir $G$, un groupe d'ordre $18$ sur un ensemble de cardinal $4$.
Le cardinal d'une orbite est inférieur ou égal à $4$ et divise l'ordre de $G$ c'est à dire $18$.
Une orbite possède donc $1$ ou $3$ éléments.
La somme des cardinaux des orbites est $4$.
On ne peut pas avoir deux orbites de cardinal $3$
Si une orbite est de cardinal $3$ cela signifie qu'il y a une orbite de cardinal $1$.
S'il n'y a pas d'orbite de cardinal $3$ c'est que toutes les orbites contiennent un seul élément.

PS:
Il y a un souci, je n'ai pas pris en compte le fait qu'une orbite pouvait être de cardinal $2$, a priori. grinning smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Fin de partie.
AD
Re: Groupes d'ordre 18
il y a huit mois
avatar
Bonjour FdP
Tu fais agir $G$ par conjugaison sur les quatre sous-groupes d'ordre 3.
Il faut voir que ces 4 sous-groupes appartiennent tous au 3-Sylow qui est un groupe de type $C_3 \times C_3$ (commutatif) qui contient tous les éléments d'ordre 3 de $G$. L'action par conjugaison des éléments d'ordre 3 de $G$ sur les 4 sous-groupes est donc triviale (à cause de la commutativité). Il ne reste que l'action des éléments de $G$ d'ordre pair, d'où des orbites de cardinal 2 ou 1.
Pour aller plus loin, il faut continuer à raisonner ...

En revanche, l'argument de LOU16 est rapide thumbs down
Alain



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Groupes d'ordre 18
il y a huit mois
Très bien LOU16
!!
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