Groupes d'ordre 18

Je vois bien un sous-groupe d'ordre 9 qui est distingué (d'indice le plus petit diviseur de 18), si il est non commutatif, il aura un centre d'ordre 3 ( et un sous-groupe caractéristique d'un groupe distingué est distingué). Par contre j'ai loupé un morceau dans le cas ou le sous-groupe d'indice 9 serait commutatif (peut-être que dans ce cas le groupe est abélien, mais je ne vois pas pourquoi).

Bonsoir,

Soit $G$ un groupe d'ordre $2p^2$, où $p$ est un nombre premier impair.
Les théorèmes de Sylow nous disent que le nombre de $p-\text{sous-groupes de Sylow de}\: G$ divise $2$ et est congru à $1 \mod p$.
Donc $G$ admet un unique sous- groupe $H$ d'ordre $p^2$, qui est distingué dans $G$. Ainsi tous les éléments d'ordre $p$ ou $p^2$ de $G$ sont dans $H$.

$\bullet \quad$ Si $ H\simeq \Z/p^2\Z$, alors, en notant $a$ un générateur de $H$, $\: \langle a^p \rangle $ est l'unique sous-groupe d'ordre $p$ de $G$. Il est donc distingué dans $G$.
$\bullet \quad$ Sinon, $H \simeq \Z/p\Z \otimes \Z/p\Z$. (tout groupe d'ordre $p^2$ est abélien).$\quad\ H$ est un espace vectoriel de dimension $2$ sur le corps $\mathbb F_p$.
Soit $b$ un élément de $G$ d'ordre $2.\:\:\:$ Alors $ \Phi: \quad \left \{ \begin{array} {ccc} H& \longrightarrow& H\\x&\longmapsto &bxb^{-1} \\ \end{array} \right.$ est un automorphisme de l'espace vectoriel $H$ vérifiant $\Phi^2 = \text{Id} $ .
$\:\:\Phi$ possède un polynôme annulateur scindé sur $\mathbb F_p$ et par conséquent un vecteur propre $a$.
$\quad\langle a \rangle$ est alors un sous-groupe distingué d'ordre $p$ de $G$ .$\quad (G = \langle b \rangle H)$.

Oui, LOU16, joli. Et content que tu sois là. Mais il y a quand même un petit problème.

[color=#000000]> G18 := SmallGroups(18) ;                                        
> #G18 ;
5
> [#Subgroups(G : OrderEqual := 3, IsNormal := true) : G in G18] ;
[ 0, 0, 0, 0, 0 ]
[/color]

Quel problème ?

Claude,

T'es certain de la commande Magma ?

Bonjour FdP
Tu fais agir $G$ par conjugaison sur les quatre sous-groupes d'ordre 3.
Il faut voir que ces 4 sous-groupes appartiennent tous au 3-Sylow qui est un groupe de type $C_3 \times C_3$ (commutatif) qui contient tous les éléments d'ordre 3 de $G$. L'action par conjugaison des éléments d'ordre 3 de $G$ sur les 4 sous-groupes est donc triviale (à cause de la commutativité). Il ne reste que l'action des éléments de $G$ d'ordre pair, d'où des orbites de cardinal 2 ou 1.
Pour aller plus loin, il faut continuer à raisonner ...

En revanche, l'argument de LOU16 est rapide (tu)
Alain