Normes matricielles subordonnées sans compact

Joaopa
Joaopa
dans Algèbre
Bonjour à tous,

je cherche à montrer que pour toute norme $||.||$ sur $\mathbb R^n$, pour tout $A\in\mathcal M_n(\R)$, il existe $k\in\R$ tel que pour tout $x\in\mathbb R^n$, on a $||Ax||\le k||x||$ sans utililser les outils liées à la compacité (fonction continue dans un evn, normes équivalentes....)

Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Tu veux donc montrer que toute application linéaire en dimension finie est continue. À ma connaissance, on n'échappe pas à l'équivalence avec la norme infinie à un moment ou un autre. Je me rappelle que Foys avait proposé il y a quelques temps sur le forum une démonstration n'utilise que de la complétude (plutôt que de la compacité), mais pas sûr qu'il n'y ait pas d'équivalence de normes derrière.
  • Foys
    Foys
    Le fil en question se trouve là:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1719072,1720184#msg-1720184

    En fait l'équivalence des normes (et le résultat demandé par Joaopa en est un corollaire) peut se prouver avec la seule complétude du corps en question.
    Par exemple l'équivalence des normes est vraie pour $\C_p$ (complété de la clôture algébrique de $\Q_p$) qui est un corps valué complet et non localement compact.

    Malheureusement Joaopa ne veut pas non plus d'équivalence des normes...
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Foys
    @Joaopa pourquoi veux-tu te passer de la compacité?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Bah oui mais sans équivalence des normes c'est plus vrai, typiquement en dimension infinie. Enfin ce que je veux dire c'est que j'ai l'impression qu'un argument qui se passe de compacité locale/complétude/équivalence des normes devrait marcher en dimension quelconque, non ?
  • Joaopa
    Joaopa
    Foys écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1811294,1811430#msg-1811430
    Car je voudrais montrer que la norme subordonné est un norme matricielle très tôt dans le cours de topo L2. Et ne pas à avoir attendre deux mois pour avoir les outils liés à la compacité.
  • Poirot
    Poirot
    Le fait que la norme subordonnée à une norme est une norme matricielle découle facilement de la définition, ce qu'il te maque a priori c'est de montrer que celle-ci est bien définie.
  • Joaopa
    Joaopa
    C'est ça.
  • bisam
    bisam
    @Joaopa : Tu pourrais commencer par définir la norme subordonnée seulement pour les fonctions "bornées sur la sphère unité" (puisque de toute façon, c'est nécessaire pour définir la norme en question) et montrer toutes les propriétés usuelles de la norme subordonnée.
    Tu vérifies ensuite plus tard dans le cours que les fonctions linéaires continues sur $\R^n$ sont exactement celles qui sont bornées sur la sphère unité (Merci Dom pour la piqûre de rappel).
  • Dom
    Dom
    @bisam,
    C'est sûr ça : "Tu vérifies ensuite plus tard dans le cours que les fonctions continues sur $R^n$ sont exactement celles qui sont bornées sur la sphère unité." ?
  • bisam
    bisam
    Oups, aurais-je fait un léger amalgame entre fonctions continues et fonctions linéaires continues... (td)
    Heureusement que mes élèves ne me lisent pas ici !
  • Dom
    Dom
    ;-)
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