Incroyable identité de Daniel Shanks
dans Algèbre
Je regrette de m'être incrusté dans le fil de Pablo, ce qui a donné plusieurs posts autour des ``Incredible Identities'' de Daniel Shanks. Parmi lesquels (ce n'est peut-être pas dans l'ordre) http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1811826,1811858#msg-1811858 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1811826,1811892#msg-1811892 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1811826,1812034#msg-1812034 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1811826,1812040#msg-1812040 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1811826,1812590#msg-1812590 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1811826,1812624#msg-1812624
Je constate que ce n'est pas toujours facile d'avoir des échanges scientifiques sur le forum, mais c'est une autre histoire. Bref, quel est le but de ce post ? Pour dire la chose suivante : je pense que Daniel Shanks n'a pas tout dit en ce qui concerne la provenance de ses deux polynômes $Q,P$ (qui ont même corps de décomposition !). J'attache juste la page 1 de mes notes (j'ai rafistolé la page 1 de manière à ce qu'elle soit montrable).
Quant à l'identité plus générale avec des paramètres $a,b$ fournie par ev, il y a bien derrière un polynôme de degré 4 dans $\Q(a,b)[X]$, de groupe de Galois $D_4$. Peut-on faire un travail analogue à celui évoqué ci-dessus pour $a = 11$, $b = 5$ (from Daniel Shanks) ?
Je constate que ce n'est pas toujours facile d'avoir des échanges scientifiques sur le forum, mais c'est une autre histoire. Bref, quel est le but de ce post ? Pour dire la chose suivante : je pense que Daniel Shanks n'a pas tout dit en ce qui concerne la provenance de ses deux polynômes $Q,P$ (qui ont même corps de décomposition !). J'attache juste la page 1 de mes notes (j'ai rafistolé la page 1 de manière à ce qu'elle soit montrable).
Quant à l'identité plus générale avec des paramètres $a,b$ fournie par ev, il y a bien derrière un polynôme de degré 4 dans $\Q(a,b)[X]$, de groupe de Galois $D_4$. Peut-on faire un travail analogue à celui évoqué ci-dessus pour $a = 11$, $b = 5$ (from Daniel Shanks) ?
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Réponses
1) Avec Shanks, 29 et 5 sont sur la sellette. Truc non avoué par Shanks : 29 est une norme dans $\Q(\sqrt 5)/\Q$. Et du coup $5$ est une norme dans $\Q(\sqrt {29})/\Q$. Et chez ev, il y a également du normique.
Détails : il faut trouver deux rationnels $\alpha, \beta$ tels $29 = \alpha^2 - 5\beta^2$ i.e. $29 + 5\beta^2 = \alpha^2$. On essaie des entiers et on tombe sur $\beta = \pm 2$, $\alpha = \pm 7$. Bilan $\fbox {$29 = N(\pm 7 \pm 2\sqrt 5)$}$. Pareil pour $5$ dans $\Q(\sqrt {29})$ : $\fbox {$5 = N(\pm 11 \pm 2\sqrt {29})$}$ from $11^2 - 4 \times 29 = 5$.
Et chez ev, avec les deux paramètres $a,b$, on voit $c = \sqrt {a^2 -b}$. Bingo : le normique est là car $a^2 - b$, il faut le voir comme $a^2 - b \times 1^2$ i.e. $a^2 - b = N(\pm a \pm \sqrt {b})$ dans $K(\sqrt b)$. Le $K$ à préciser plus tard (que je dis).
1') Exercice. En mentionnant un contexte adéquat : $a$ est une norme dans $K(\sqrt b)/K$ si et seulement si $b$ est une norme dans $K(\sqrt a)/K$.
2) Que vient faire le normique dans l'histoire ? Etant donnée une extension bi-quadratique $K(\sqrt a, \sqrt b)$ (contexte à préciser), peut-on la plonger dans une $D_4$-extension (galoisienne) $L/K$ ? Il y a une obstruction normique à cela qui provient probablement de trucs cohomologiques ou groupe de Brauer. Et je suis persuadé que l'on pourrait énoncer la chose de manière hermétique. Mais je n'ai pas envie et je pointe l'excellent ouvrage concret des auteurs Jensen, Ledet & Yui, page 35, th 2.2.7 http://library.msri.org/books/Book45/files/book45.pdf.
J'en modifie un peu les notations (je remplace $b$ par $ab$ ...etc..). Et il faut être très précis car $D_4$ possède une ``arête dorsale'' qui est $C_4$, l'unique sous-groupe cyclique d'indice 2 dans $D_4$, ce qui évite de s'y perdre parmi les 3 sous-groupes d'indice 2. Ceci vaut pour $D_n$ : un seul sous-groupe cyclique d'indice 2.
Et il faut donc préciser où on va placer le $C_4$. J'ai choisi de le mettre au dessus de $K(\sqrt {ab})$. Schéma :
$$
\def\AR{\ar@{-}}
\xymatrix {
& L ? \ar@{-}[d] \ar@{-}@/_35pt/[dd]_{\textstyle C_4}\\
&K(\sqrt a, \sqrt b) \ar@{-}[dl] \ar@{-}[d] \ar@{-}[dr] \\
K(\sqrt a)\ar@{-}[dr]& K(\sqrt {ab})\ar@{-}[d] & K(\sqrt b)\ar@{-}[dl] \\
&K \\
}
$$
Enoncé : $L$ existe si et seulement si $b$ est une norme de $K(\sqrt a)/K$. Pareil que $a$ est une norme dans $K(\sqrt b)/K$. Et si $b = \alpha^2 - a\beta^2 = N(\alpha + \beta \sqrt a)$, alors il y a une foultitude de $L$ qui conviennent :
$$
L = K\Bigl(\sqrt {ab}, \sqrt {r(\alpha + \beta \sqrt a)}\Bigr) \qquad \qquad r \in K^*
$$
3) Ennuis. Petit joueur, je fais $r = 1$ ci-dessus. Question : comment mettre $L$ sous la forme $L = K\Bigl(\sqrt {ab}, \sqrt {r'(\alpha' + \beta' \sqrt b)}\Bigr)$ (attention, j'ai changé $a$ en $b$) où $\alpha', \beta'$ sont ceux qui interviennent dans la question 1' et qui témoignent du fait que $a$ est une norme dans $K(\sqrt b)$ : $a = \alpha'^2 - \beta'^2 b$. J'ai pris $\alpha' = \alpha/\beta$ et $\beta' = 1/\beta$ mais comment choisir $r'$ ? J'offre une forte récompense à la personne qui me viendra en secours.
4) Dans l'histoire de Shanks (cf mon post précédent), je fais le choix de $2(x_1 + x_2) = 1 + \sqrt 5$ donc $2(x_3 + x_4) = 1 - \sqrt 5$. Comme $x_1x_2 = x_3x_4 = -1$, on peut exprimer les $x_i$ via des radicaux carrés et on finit par obtenir :
$$
\begin {array} {c}
4x_1 - 1 = \sqrt {5} + \sqrt {22 + 2 \sqrt 5}, \quad
4x_2 - 1 = \sqrt {5} - \sqrt {22 + 2 \sqrt 5}, \qquad
4x_3 - 1 = -\sqrt {5} + \sqrt {22 - 2 \sqrt 5}, \quad
4x_4 - 1 = -\sqrt {5} - \sqrt {22 - 2 \sqrt 5}
\\
\Q(x_1) = \Q(x_2) = \Q\Big( \sqrt {22 + 2 \sqrt 5}\Big), \qquad\qquad
\Q(x_3) = \Q(x_4) = \Q\Big( \sqrt {22 - 2 \sqrt 5}\Big)
\\
\end {array}
$$
Note : entre $x_1,x_2$ d'une part et $x_3,x_4$ d'autre part, il faut juste changer $\sqrt 5$ en $-\sqrt 5$.
L'extension $L$ sera montée plus tard via le point 3 et les divers renseignements normiques.
$$
\sqrt 5 + \sqrt {22 + 2\sqrt 5} =
\sqrt {11 + 2\sqrt {29}} + \sqrt {16 - 2\sqrt {29} + 2\sqrt {55 - 10 \sqrt {29}}}
$$
Mais ensuite $\sqrt {7 - 2\sqrt 5}$ a débarqué, disant qu'elle venait du normique (cf post précédent). J'ai laissé entrer. Mais pour que tout colle, il fallait que :
$$
\Q\Big( \sqrt {22 + 2 \sqrt 5}\Big) = \Q\Big( \sqrt {7 - 2 \sqrt 5}\Big) \qquad\qquad (\heartsuit)
$$
Chère forumeuse, cher forumeur : si tu vois, de manière quasi-instantanée, l'égalité $(\heartsuit)$, pourrais tu m'en faire part ? Je ne serai pas un ingrat.
De mon côté, un tantinet agacé, j'ai posé $X = \sqrt {22 + 2 \sqrt 5}$ et $Y = \sqrt {7 - 2 \sqrt 5}$ et j'ai fini par me convaincre que $Y \ \buildrel (\spadesuit) \over = \ {\sqrt 5 - 1 \over 4}\, X$, ce qui finit par donner $(\heartsuit)$. En me souvenant dans l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt 5)$, que l'inversible ${\sqrt 5 - 1 \over 2}$ peut parfois jouer des tours : ${\sqrt 5 - 1 \over 2} {\sqrt 5 +1 \over 2} = 1$. Bref, montrer $(\spadesuit)$, c'est pareil que de montrer $(\sqrt 5 + 1) Y = X$. Or :
$$
(\sqrt 5 + 1) \sqrt {7 - 2 \sqrt 5} = \sqrt {(\sqrt 5 + 1)^2 (7 - 2 \sqrt 5)} =
\sqrt {(6 + 2\sqrt 5) (7 - 2 \sqrt 5)} = \sqrt {22 + 2 \sqrt 5}
$$
Et le même cirque risque de se reproduire avec d'une part $\sqrt {29}$ et d'autre part avec les deux en même temps. C'est mon problème ? Exact. On est vachement plus est peinard quand on décrète que $X^5 - X - 1$ n'est pas résoluble par radicaux sur $\Q$.
Ça l'air de parler de racines imbriquées, et de quelques égalités incroyables comme celle dont tu parles, ça pourrait t'intéresser.
Je dis la vache car je vois des identités dues à Ramanujan avec des racines cubiques (moi, je suis petit joueur avec des racines carrées). Tiens en voilà une dans la section 3.1 :
$$
\sqrt {\root 3 \of 5 - \root 3 \of 4} = {1 \over 3} \Bigl( \root 3 \of 2 + \root 3 \of {20} - \root 3 \of {25}\Bigr)
$$
Petite vérification partielle algébrique, juste pour voir s'il n'y a pas une erreur de typo Cela a l'air tout bon.
Et il y a une dernière section sur la fraction continue modulaire de niveau 5 de Rogers-Ramanujan ...etc.. Un pdf de 80 pages, je sens que cela va aider à m'endormir. Merci Poirot.
ça doit être une vache sacrée.
e.v.
J'ai quand même quelque chose à te demander : comment as tu fait, après ton activité racines carrées avec les petit(e)s, pour te désintoxiquer ? Et puis comment se fait-il que les autres ils sont toujours propres sur eux tandis que mézigue, dès que je mets les mains dans le cambouis, il y en a partout. Tu as peut-être une idée ?
$\bullet$ Bref, revenons aux choses de la vie avec le magicien D. Shanks. Cela n'étonne personne que celui-ci balance deux polynômes avec des discriminants entrelacés ?
$$
Q(X) = X^4 - X^3 - 3X^2 + X + 1, \qquad
P(X) = X^4 - X^3 - 5X^2 - X + 1, \qquad
\Disc(Q) = 5^2 \cdot 29, \qquad \Disc(P) = 29^2 \cdot 5
$$
Besogneux que je suis, j'ai fait pour $P$ (mis de côté) le même traitement que pour $Q$. En remarquant cette fois que $P$ est réciproque alors que $Q$ est anti-réciproque. J'ai donc regroupé les 4 racines $y_i$ de $P$ en $y_1y_2 = 1$ et $y_3y_4 = 1$. Si bien qu'en posant $s = y_1+y_2$, $s' = y_3+y_4$:
$$
P(X) = (X^2 - sX + 1)(X^2 - s'X + 1) = X^4 - (s+s')X^3 + (ss' + 2)X^2 - (s+s')X + 1, \qquad \fbox {$s+s' = 1,\quad ss' = -7$}
$$
Trinôme $S^2 - S - 7$ de discriminant 29. D'où la détermination de, par exemple, $2(y_1+y_2) = 1 + \sqrt {29}$ et $2(y_3+y_4) = 1 - \sqrt {29}$. Via les produits $y_1y_2=y_3y_4=1$ (équation du second degré quand tu me tiens), expressions par radicaux carrés des $y_i$ sous formes regroupées :
$$
4y_{1,2} - 1 = \sqrt {29} \pm \sqrt {2(7 + \sqrt {29})}, \qquad\qquad
4y_{3,4} - 1 = -\sqrt {29} \pm \sqrt {2(7 - \sqrt {29})}
$$
On est bien content, n'est ce pas ?
$\bullet$ Une lectrice attentive remarquera que $N(7 - \sqrt {29}) = 2^2 \cdot 5$, confirmant que $5$ est une norme dans $\Q(\sqrt {29})/\Q$. Mais, d'une part, $11 - 2 \sqrt {29}$ avait déjà confirmé que 5 est une norme dans $\Q(\sqrt {29})/\Q$ ; et d'autre part l'étude de Jensen, Ledet, Yui http://library.msri.org/books/Book45/files/book45.pdf, page 35, Th 2.2.7 nous amène à penser que :
$$
\Q(\sqrt {11- 2 \sqrt {29}}) = \Q\Bigl(\sqrt {2(7 + \sqrt {29})}\Bigr) \qquad\qquad (\heartsuit)
$$
Là, je suis resté calme. Enfin presque. Et je me suis dit que peut-être l'unité fondamentale $u = {5 + \sqrt {29} \over 2}$ de $\Z\left[ {1 + \sqrt 29 \over 2}\right]$ avait son mot à dire comme dans le cas de $\Q(\sqrt 5)$. D'abord, on a bien :
$$
{\sqrt {29} - 5 \over 2} \ {\sqrt {29} + 5 \over 2} = 1
$$
Et effectivement, il y a un facteur de $u/2$ entre les 2 radicaux figurant dans $(\heartsuit)$.
Shanks, là haut, arrête de rigoler. Et comment se fait-il que ton mini-article https://www.fq.math.ca/12-3.html se retrouve coupé sur 2 pages distantes d'une dizaine de pages ?
Je termine mon monologue par ce post. Il me semble avoir vu sur le forum des personnes s'intéressant à Galois, tout particulièrement au degré 5. Donc je pointe de nouveau Ledet, Jensen et Yui in http://library.msri.org/books/Book45/files/book45.pdf. Et j'attache une de leur page où l'on parle d'un certain Malfatti.
Je pointe également l'ouvrage de Shurman, Geometry of the Quintic https://people.reed.edu/~jerry/Quintic/quintic.pdf
Et comme j'en ai beaucoup bavé avec $D_4$ et les radicaux carrés (je suis petit joueur), j'attache mes petites affaires là-dessus. Il y aurait encore de jolies choses à faire concernant $D_4$, par exemple la rationalité du corps des invariants, cf Jensen, Ledet, Yui.